Genelleştirilmiş IMO 2000 #2 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a,b,c,\lambda$ pozitif reeller ($\lambda \leq 1$) olmak üzere $abc=1$ ise


$$\left(a-\lambda +\dfrac{\lambda}{b}\right)\left(b-\lambda +\dfrac{\lambda}{c}\right)\left(c-\lambda +\dfrac{\lambda}{a}\right)\leq \lambda \sqrt{\lambda
\prod{\left(\dfrac{a+1-\lambda}{c}+\left(\sqrt{\lambda}-1\right)^2\right)}}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\lambda =1$$
verildiğinde problem IMO 2000 #2'ye dönüşür.

Sağ taraftaki karekök içi ise orijinal soruda
$$\sqrt{\prod{\dfrac{a}{c}}}=1$$

$\lambda \leq1$ ibaresi sağ taraftaki karekök içinin negatif olmasını engellemektedir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İfadeleri ikili olarak açalım. $a$ ve $b$ ile başlayan ikili ifade için
$$\left(a-\lambda+\dfrac{\lambda}{b}\right)\left(b-\lambda+\dfrac{\lambda}{c}\right)=ab-\lambda a+\dfrac{\lambda a}{c}-\lambda b+ \lambda ^2-\dfrac{\lambda ^2}{c}+\lambda -\dfrac{\lambda ^2}{b}+\dfrac{\lambda^2}{bc}$$
$$=\dfrac{\lambda}{c}-\lambda a+\dfrac{\lambda a}{c}-\lambda b+\lambda ^2-\dfrac{\lambda ^2}{c}+\lambda-\dfrac{\lambda^2}{b}+\lambda a$$
elde ederiz. Biraz düzenleyip parantez içi ifadeye Aritmetik-Geometrik Ortalama uygularsak
$$=\dfrac{\lambda}{c}+\dfrac{\lambda a}{c}+\lambda ^2+\lambda+\dfrac{\lambda ^2}{c}-\left(\lambda b+\dfrac{\lambda^2}{b}\right)\overbrace{\leq}^{AGO} \dfrac{\lambda}{c}+\dfrac{\lambda a}{c}-\dfrac{\lambda ^2}{c}+\lambda^2+\lambda-2\lambda\sqrt{\lambda}=\lambda\left(\dfrac{a+1-\lambda}{c}+\left(\sqrt{\lambda}+1\right)^2\right)$$
Aynı şekilde $\left(b-\lambda+\dfrac{\lambda}{c}\right)\left(c-\lambda+\dfrac{\lambda}{a}\right)\leq \lambda\left(\dfrac{b+1-\lambda}{a}+\left(\sqrt{\lambda}+1\right)^2\right)$ ve $\left(c-\lambda+\dfrac{\lambda}{a}\right)\left(a-\lambda+\dfrac{\lambda}{b}\right)\leq \lambda\left(\dfrac{c+1-\lambda}{b}+\left(\sqrt{\lambda}+1\right)^2\right)$ elde edilir. Bu üç ifadeyi çarptığımızda başta ispatlamaya çalıştığımız eşitsizliğin sol tarafının karesi olduğuna dikkat edelim
$$\left(a-\lambda+\dfrac{\lambda}{b}\right)\left(b-\lambda+\dfrac{\lambda}{c}\right)\left(c
-\lambda+\dfrac{\lambda}{a}\right)\leq \sqrt{\lambda\left(\dfrac{a+1-\lambda}{c}+\left(\sqrt{\lambda}+1\right)^2\right)\lambda\left(\dfrac{b+1-\lambda}{a}+\left(\sqrt{\lambda}+1\right)^2\right)\lambda\left(\dfrac{c+1-\lambda}{b}+\left(\sqrt{\lambda}+1\right)^2\right)}$$
$$=\\lambda \sqrt{\lambda
\prod{\left(\dfrac{a+1-\lambda}{c}+\left(\sqrt{\lambda}-1\right)^2\right)}}$$
elde eder ve ispatı bitiririz.
Problemde $\lambda=1$ verildiğinde orijinal problem IMO 2000 P2'ye dönüşür ve.içerisi direktman $1$'e eşit olur.
$\lambda\leq 1$ olması ise karekökün negatif olmasını engellemek amaçlıdır. Fakat $a,b,c>1-\lambda$ gibi bir koşul da verilebilirdi.