Tübitak Lise Takım Seçme 2023 Soru 9

[geo]

Bir $\Gamma$ çemberi üzerinde verilen sırada yer alan $A$, $B$, $K$, $L$, $X$ noktaları için $\stackrel{\LARGE{\frown}}{BK}$ ve $\stackrel{\LARGE{\frown}}{KL}$ yayları eşit ölçüdedir. $A$ dan geçip $BK$ ye $B$ de teğet olan çember $KX$ doğru parçasını $P$ ve $Q$ da kesiyor. $A$ dan geçip $BL$ ye $B$ de teğet olan çember ise $BX$ doğru parçasını ikinci kez $T$ de kesiyor. $\angle PTB = \angle XTQ$ olduğunu gösteriniz.

[diktendik]

$T$ noktası, $[BK]$ üzerinde $\angle{TAB}=\angle{XBC}$ olmasını sağlayan noktadır. Bu açı $\alpha$ olsun. $BC \cap (AQP) = R$ olsun. Teğetlikten $\angle {RBK}=\angle{RAB}$ gelir. $BX \cap (AQP) = S \neq B$ olsun. $\angle{SAR}=\alpha$'dır. $\angle{SAT}=\angle {RAB}=\angle {RBK}$ olduğu açıktır. Bu açı $\beta$ olsun. Ayrıca $CK$ yayı $KB$ yayına eşit olduğundan $\angle{KXB}=\beta$ olmalıdır. $\angle{XKB}=180-2\beta-\alpha$ olduğundan $\angle{XAB}=2\beta+\alpha$ olur. Buradan $\angle{XAS}=\beta$ gelir. $AS \cap XK = Z$ olsun. $XAZT$ kirişler dörtgeni olduğundan $|ZT|=|ZX|$ olur. $\triangle{ZAT}$'nde benzerlikten $|ZT|^2=|ZS|\cdot|SA|$ olur. Bu, $Z$'nin $(AQP)$'ye kuvvetidir ve $|ZP|\cdot|ZQ|$'ya eşittir. Yani $|ZT|^2=|ZP|\cdot|ZQ|$ olur. $m\angle{ZTP}=\angle{ZQT}$ olduğu anlaşılır. $\angle {QTB}=\angle {ZQT}+\angle {XQT}$ olur. Zaten $\angle {PTX}=\angle {ZTX}+\angle {ZTP}$'dir. $\angle {ZTP}=\angle {ZQT}$ ve $\angle {QXT}=\angle{ZTX}$ olduğundan $\angle{PXT}=\angle{QTB}$ olur. İspat biter.