Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2023 Soru 1

[ygzgndgn]

Masa üzerinde $1,2,\dots,n$ sayılarıyla numaralandırılmış $n$ tane boş kırmızı ve $1,2,\dots,n$ sayılarıyla numaralandırılmış $n$ tane boş beyaz kutu bulunuyor. Her işlemde renkleri farklı olan iki kutuya birer top yerleştiriliyor. Birkaç işlemden sonra numaraları aynı olan herhangi kırmızı ve beyaz kutu ikilisi için, ya kırmızı kutuda beyaz kutudan $6$ fazla ya da beyaz kutuda kırmızı kutudan $16$ fazla top varsa, $n$ sayısının alabileceği tüm değerleri bulunuz.

[ygzgndgn]

Çözüm 1: Kırmızıların $6$ fazla olması durumuna "ilk durum", beyazların $16$ fazla olması durumuna "ikinci durum" diyelim. Bire bir eşlemeden ötürü her işlem sonucunda beyaz ve kırmızı kutulardaki topların sayısı eşit olur. İlk durum $k$ kez gerçekleşiyorsa ikinci durum $(n-k)$ kez gerçekleşmelidir. Bunları göz önünde bulundurarak şöyle yazalım:
$i$-inci kutularda ilk durum yaşandıysa beyaz kutuda $a_i$, kırmızı kutuda $a_i+6$;
ikinci durum yaşandıysa kırmızı kutuda $a_i$, beyaz kutuda $a_i+16$ tane top bulunsun. Yeterli sayıda işlem sonucunda
$$6k+\sum{}{a_i}=16(n-k)+\sum{}{a_i}$$ $$\Rightarrow 22k=16n\Rightarrow 11k=8n$$ olur. $k$ ve $n$ 'in tam sayı olduğu açıktır. o halde $n=11t$ ($t\in\mathbb{Z}$) olmalıdır. İlk durum ise $8$ 'in katı defa yaşanmalıdır. Bu formdaki tüm sayılar sağlar.
$n=11t$ için ilk $8t$ kutuda beyazlardan $1$ kırmızılardan $7$, kalan $3t$ kutuda ise beyazlardan $17$ kırmızılardan $1$ olursa toplamların eşit olduğu görülür.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Yağız. Sınav sonucunun iyi gelmesi dileğiyle... Benzer bir çözüm yapmıştım, onu paylaşayım:


Çözüm 2 [L. Gökçe]: Kırmızı renkli kutularda, $6$ topun fazla olduğu kutuların sayısı $x$ olsun. Beyaz renkli kutularda, $16$ topun fazla olduğu kutuların sayısı $y$ olsun. Toplam kutu sayısından, $x+y = n$ yazarız. Kırmızı kutularda fazladan oluşan $6x$ top varken, beyaz kutularda fazladan oluşan $16y$ top vardır. Kırmızı kutulardaki toplam top sayısı ile beyaz kutulardaki toplam top sayısı eşit olduğundan oluşan bu fazlalıkları da eşitleriz. Yani $6x=16y$ dir. Dolayısıyla $x=8k$, $y=3k$ olacak şekilde $k$ pozitif tam sayısı vardır. $n=x+y = 11k$ elde edilir. Yani $n$, $11$'in katı olan bir pozitif tam sayı olmalıdır. Her $k$ pozitif tam sayısı için uygun bir örnek durum olduğunu göstermek kolaydır.

Önce $n = 11$ durumu için örnek verelim. $48$ siyah ve $48$ beyaz topu göz önüne alalım. İlk $8$ kutuya $6$'şar tane kırmızı top koyalım. Son $3$ kutuya $16$'şar tane beyaz top koyalım. $8\cdot 6 = 48 = 3\cdot 16$ olup $n=11$ kutu için istenen koşul sağlanmış olur. Bu düzeneği $k$ defa kopyalayarak $n=11k$ kutu için de istenen koşulun sağlanacağını anlarız.