Öncelikle $a=b=\dfrac{1}{2} , c=0$ verildiğinde basit hesaplamalar sonucu $k\leq 4$ olduğunu elde ederiz. O zaman biz en büyük değerin $k=4$ olduğunu gösterelim. Bergstorm Eşitsizliği'ni kullanırsak
$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\lambda-1+9bc+4\left(b-c\right)^2}}=\sum_{cyc}{\dfrac{a^2}{\left(\lambda-1\right)a+9abc+4a\left(b-c\right)^2}}\overbrace{\leq}^{Bergstorm} \dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(\lambda-1\right)\left(a+b+c\right)+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}$$
$$=\dfrac{1}{\lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}\geq \dfrac{1}{\lambda}$$
sondaki eşitsizliği göstermemiz problemin ispatında yeterli olacaktır. Gösterelim.
$$=\dfrac{1}{\lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc}\geq \dfrac{1}{\lambda}\Rightarrow \lambda\geq \lambda-1+4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc$$
$$\Rightarrow 1\leq 4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc$$
$a+b+c=1$ bilgisini kullanırsak
$$1=\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\sum_{sym}{ab^2}+6abc\geq 4\sum\limits_{sym}{ab^2}+3abc \Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq 4\sum_{sym}{ab^2}$$
Son ifade ise
Schur Eşitsizliği'nin 1. derece hali olduğundan doğrudur. İspat tamamlanır.
