Türevli denklem

[Metin Can Aydemir]

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonu türevlenebilir konveks bir fonksiyon olsun. Buna göre $$f(x+f'(x))=f(x)$$ olan her $x\in\mathbb{R}$ için $f'(x)=0$ olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$f$ fonksiyonu konveks olduğundan dolayı herhangi bir $x_0$ noktasında $f$ fonksiyonuna çizilen teğet, $f$'in tamamen altında kalmalıdır (teğet olduğu nokta hariç). $(x_0,f(x_0))$'dan çizilen teğetin denklemi $$y=f'(x_0)x+f(x_0)-x_0f'(x_0)$$ olduğundan, her $x,t\in\mathbb{R}$ için $$f(x)\geq f'(t)x+f(t)-tf'(t)$$ olmalıdır. Eğer $x$ yerine $x+f'(x)$ yazarsak, $$f(x+f'(x))\geq f'(t)x+f'(t)f'(x)+f(t)-tf'(t)$$ elde edilir. Özel olarak $x=t$ alırsak, $$f(x+f'(x))\geq f(x)+\left[f'(x)\right]^2\geq f(x)$$ bulunur. Dolayısıyla $f(x+f'(x))=f(x)$ olması için yukarıdaki eşitsizliğin eşitlik haline gelmesi ve $f'(x)=0$ olması gerekir.