Genelleştirilmiş Balkan MO 2006 #1 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirme 1
$a_{1},a_{2},\cdots,a_{3n}$ pozitif reeller ($n\geq 1$) olmak üzere


$$\sum_{cyc}{\left(\dfrac{1}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i+n-1}\left(a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1\right)}\right)}\geq \dfrac{3n}{\prod{a_{1}}+1}$$


olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$n=1$$
verildiğinde problem Balkan MO 2006 #1'e dönüşür.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Ana motivasyonumuz pay ve paydada benzer çarpanlar bulup elementer bir Aritmetik-Geometrik Ortalama ispatı yapmak. Buna göre her iki tarafı $\prod{a_1}+1$ ile çarpıp toplam içine $+1$ eklersek
$$\sum_{cyc- i}{\left(\dfrac{a_1a_2\cdots a_{3n}+1}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i+n-1}\left(a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1\right)}+1\right)}=\sum_{cyc- i}{\left(\dfrac{a_1a_2\cdots a_{3n}+a_ia_{i+1}\cdots a_{i+2n-1}+a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}+1}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i+n-1}\left(a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1\right)}\right)}\geq 6n$$
olması iddiamızdır. Ifadeyle uğraşalım
$$\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{a_1a_2\cdots a_{3n}+a_ia_{i+1}\cdots a_{i+2n-1}+a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}+1}{a_{i}a_{i+1}\cdots a_{i+n-1}\left(a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1\right)}\right)}$$
$$=\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}\left(a_{i+2n}a_{i+2n+1}\cdots a_{i-1}+1\right)}{a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1}+\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}+1}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}\left(a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1\right)}\right)}$$
elde edilebilir. Şimdi herhangi bir
$$a_{i+2n}a_{i+2n+1}\cdots a_{i-1}+1 \qquad \text{ve} \qquad a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}$$ çarpanının bu toplamda.nerede kaç kez gözleneceğine bakalım. Örneğin $a_1a_2\cdots a_n+1$ çarpanı kaç kez görülür. Bu çarpan iki kez bir kesrin paydasında $i=1, i=n+1$ iken ve iki kez de bir kesrin paydasında $i=2n+1$ iken çift kez gözükür ve bundan dolayı genel $6n$ terimli bir Aritmetik-Geometrik Ortalama'da bunlar birbirini götürür. $a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}$ için de örneğin $a_1a_2\cdots a_n$ çarpan grubuna bakalım. Bir kez payda $2n+1$ ve bir kez paydada $i=1$ iken görülür ve bunlar da birbirini götürür. O zaman
$$=\sum_{cyc-i}{\left(\dfrac{a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}\left(a_{i+2n}a_{i+2n+1}\cdots a_{i-1}+1\right)}{a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1}+\dfrac{a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}+1}{a_ia_{i+1}\cdots a_{i+n-1}\left(a_{i+n}a_{i+n+1}\cdots a_{i+2n-1}+1\right)}\right)}\overbrace{\geq}^{AGO} 6n$$
elde ederiz. Bu tür toplamın içerisinde kaç kez nerede hangi ifadelerin bulunduğunu gözlemlemek bu tür sorularda şe yarar niteliktedir. İspatı tamamlarız.