Tübitak Lise Takım Seçme 2017 Soru 5

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c$ reel sayılar ve $a+b+c=3$ sağlanıyorsa

$$a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca)$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$a^3b+b^3c+c^3a+9\geq 4(ab+bc+ca)$$

olduğunu göstermek için

$$a^3b+b+b+b^3c+c+c+c^3a+a+a+3\geq 3(ab+bc+ca)+3\geq 4(ab+bc+ca)$$

eşitsizliklerini göstermek yeterlidir. Sol taraftaki eşitsizlikler için, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden $a^3b+b+b \geq 3ab$, $b^3c+c+c \geq 3bc$, $c^3a+a+a \geq 3ca$ yazılabilir. Sağ taraftaki $3(ab+bc+ca)+3\geq 4(ab+bc+ca)$ eşitsizliğini ispatlamak için de

$$ab+bc+ca\leq 3$$

eşitsizliğini göstermemiz yeterlidir.

Öte yandan $$ab+bc+ca\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3$$ olduğundan, son eşitsizlik doğrudur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Türkiye TST 2017 #5