Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2002 Soru 1

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$ABC$ üçgeninde $CA=CB$ sağlanıyor. $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin üzerinde $A$ ve $B$ noktaları arasında bir $P$ noktası alınıyor($AB$ doğrusunun $C$ tarafının tersinde olacak şekilde). $C$ den $PB$ ye inen dikme ayağı ise $D$ noktası olsun.

$$PA+PB=2.PD$$
olduğunu gösteriniz.

[geo]

$P$ nin $D$ ye göre simetriği $Q$ olsun.
$\angle CAB = \angle CPB = \angle CQB$.
Bu durumda $\angle PCQ = \angle ACB$ dolayısıyla $\angle ACP = \angle BCQ$ olur. $CA=CB$ ve $CP = CQ$ olduğu için $\triangle ACP \cong \triangle BCQ$. Yani $AP=BQ$ elde edilir. $PA+PB= BQ+PB=PQ=2\cdot PD$.

[geo]

$\angle PCD = \alpha$ olsun.
$\angle CAB = \angle CPD = 90^\circ - \alpha$ olduğu için $\angle ACB =2\alpha$ dır.
$ACBP$ kirişler dörtgeninde Ptolemy'den $AC\cdot PB + BC\cdot PA = PC\cdot AB$. Biraz düzenlemeyle $$
\begin{array}{rcl}
BC\cdot (PA+PB)=PC\cdot AB \Longrightarrow PA+PB &=& PC\cdot \dfrac{AB}{BC}\\ &=& PC\cdot \dfrac{\sin 2\alpha}{\sin (90^\circ-\alpha)} \\ &=& PC\cdot 2\cdot \sin \alpha \tag{1}
\end{array}$$
$PCD$ dik üçgeninde $$PD=PC\cdot \sin \alpha \tag{2}$$ olacaktır. $(1)$ ile $(2)$ yi birleştirdiğimizde $PA+PB = 2\cdot PD$ elde ederiz.

[geo]

$PB = PA$ ise $\angle CBP = 90^\circ$ olacağı için $B=D$ olacaktır. $PD = PB = PA \Rightarrow 2\cdot PD = PA + PB$ sağlanacaktır.
$PB > PA$ kabul edelim.

$\angle CPB = \angle CAB = \angle CBA = \angle CPA$ olduğu için $PC$ doğrusu $\angle APB$ nin açıortayıdır. Açıortay kollarına inilen dikmeler eşit olacağı için $C$ den $AP$ ye inilen dikmenin ayağı $E$ ise $CE = CD$. Pisagordan ya da eşlikten $AE = BD$ olacaktır.
$PE = PD = PA + AE = PB - BD \Rightarrow 2\cdot PD = 2\cdot PE = PE + PD = PA + AE + PB - BD = PA + PB$.
$PB < PA$ ise şekilde $E$ ile $D$, $A$ ile $B$ yer değiştirecek. Bu durumda yine aynı sonuç çıkacak.