Birinci Yol: İfadeyi düzenleyerek tamkare haline getirmeye çalışalım. $x(x+p)>0$ olduğundan $t>0$ için $$x^2+px=t^2\iff 4x^2+4px+p^2=4t^2+p^2\iff (2x+p)^2-(2t)^2=p^2$$ $$\iff (2x+p-2t)(2x+p+2t)=p^2$$ olacaktır. $2x+p+2t>0$ olduğundan $2x+p-2t>0$ olmalıdır. Buradan olası durumları hemen bulabiliriz. $$(2x+p+2t,2x+p-2t)=(p^2,1)$$ $$(2x+p+2t,2x+p-2t)=(1,p^2)$$ $$(2x+p+2t,2x+p-2t)=(p,p)$$ Eğer $(2x+p+2t)+(2x+p-2t)=4x+2p>2p$'ye bakarsak tek olası durumun $$4x+2p=p^2+1\implies x=\frac{(p-1)^2}{4}$$ olduğunu görürüz.
İkinci Yol: Çarpanları incelersek, $(x,x+p)=(x,p)=1,p$ olduğunu görürüz. Yani iki durumumuz vardır.
Eğer $(x,x+p)=p$ ise $p\mid x$ olmalıdır ve $x(x+p)$ tamkare olduğundan $x=pm^2$ ve $x+p=pn^2$ formatında olmalıdır. Ancak farkını alırsak, $$n^2-m^2=1\implies m=0$$ elde edilir. Bu da $x>0$ olmasıyla çelişir. Bu durumdan çözüm gelmez.
Eğer $(x,x+p)=1$ ise $x$ ve $x+p$ tamkare olmalıdır. $n,m>0$ ve $x=m^2$ ve $x+p=n^2$ için $$n^2-m^2=(n-m)(n+m)=p\implies n-m=1\text{ ve } n+m=p\implies (m,n)=\left(\frac{p-1}{2},\frac{p+1}{2}\right)$$ elde edilir. Dolayısıyla $x=m^2=\frac{(p-1)^2}{4}$ olacaktır.
