2007 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 4

[matematikolimpiyati]

$x,y,z >0$ ise
$$\dfrac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1} + \dfrac{(y+1)(z+1)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1} + \dfrac{(z+1)(x+1)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1} \geq x+y+z+3$$
olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Aritmetik-geometrik orta ve Faydalı Eşitsizlik kullanacağız.
$$\sum_{cyc}{\frac{(x+1)(y+1)^2}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1}}\geq \sum{\frac{(x+1)(y+1)^2}{xz+x+z+1}}=\sum{\frac{(x+1)(y+1)^2}{(x+1)(z+1)}}$$
=$$\sum_{cyc}{\frac{(y+1)^2}{z+1}}\geq \frac{(x+y+z+3)^2}{x+y+z+3}= x+y+z+3$$