2001 Ulusal Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 3

[matematikolimpiyati]

$AB$ çaplı bir çemberin $OB$ yarıçapını çap kabul eden bir çember ve bu iki çembere $S$ ve $T$ noktalarında teğet bir çember daha çiziliyor. $S \neq T$ olmak üzere, $AST$ üçgeninin çevrel çemberinin $O$'dan geçtiğini ispatlayınız.

[geo]

Söz konusu çember, $AB$ çaplı çembere $S$ de, $OB$ çaplı çembere $T$ noktasında teğet olsun. (Soruda sıra belirtmediği için)

$AB$ çaplı çemberin $B$ deki teğeti ile $AS$, $P$ de kesişsin.
$AB$ çaplı çemberin $S$ deki teğeti ile $B$ deki teğeti $R$ de kesişsin.
Birbirine teğet olan bu üç çemberin ikişerli kuvvet eksenleri tek bir noktada kesişeceği için, $R$ noktası bu üç çemberin kuvvet merkezidir.
$SR=RT=RB$.
$\angle ASB = 90^\circ$ olduğu için, $PBS$ dik üçgeninde $SR=RB=RP$. Bu durumda $\angle PTB=90^\circ$.
Ayrıca, $OB$ çaplı çemberde $\angle OTB=90^\circ$ olduğu için $O,T,B$ doğrusaldır.
Öklid'den $PB^2=PS\cdot PA=PT\cdot PO$. Bu da $S,A,T,O$ noktalarının çembersel olduğu anlamına gelir.