Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki koşulu sağlayan tüm $n>1$ bileşik tam sayılarını belirleyiniz :

$d_1,d_2,...,d_k$ sayıları $n$ sayısının tüm pozitif bölenleri ve $1=d_1<d_2< \cdots <d_k=n$ ise her $1 \leq i \leq k-2$ için $d_i$ sayısı $d_{i+1}+d_{i+2}$ sayısını böler.

[geo]

$p$ asal sayı ve $m>1$ bir tam sayı olmak üzere, $n=p^m$ şeklindeki sayılar sorudaki şartı sağlar.

$n$ nin birden fazla asal böleni olduğunu varsayalım.
$p$ ve $q$ $(p<q)$, $n$ nin en küçük iki asal böleni olsun.
$\alpha \geq 1$ tam sayı olmak üzere, $n$ nin bölenleri sırasıyla $1,p,\dots, p^\alpha, q,\dots,  \dfrac nq,\dfrac n{p^\alpha},\dots, \dfrac np, n$ olacaktır.
Sorudaki tanım gereği $\dfrac nq \mid \left (  \dfrac n{p^\alpha} + \dfrac n{p^{\alpha-1}} \right )$ olacaktır. Eşdeğer olarak ($k$ tam sayı) $q=\dfrac{kp^\alpha}{p+1}$ elde ederiz. Bu durumda $p \mid q $ olacaktır. Bu da baştaki kabulümüz ile çelişir.