Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 22

[matematikolimpiyati]

$p$ ve $q$ asal sayılar olmak üzere,
$$\dfrac{7pq}{1+p+q}$$
ifadesi $\{1,2,3,...,31\}$ değerlerinden kaç tanesine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Genelliği bozmadan $p\geq q$ olsun. $7$, $p$ ve $q$ asal olduğundan $\frac{7pq}{1+p+q}=1,7,p,q,7p,7q,pq,7pq$ olabilir. $1+p+q\geq 1+2+p=p+3$ olduğundan $$\frac{7pq}{1+p+q}\leq \frac{7pq}{p+3}<7q\leq 7p<7pq$$ olmalıdır. Buradan $\frac{7pq}{1+p+q}=1,7,p,q,pq$ olmalıdır.

Eğer $1$ ise $7pq=1+p+q$ olur. Bu eşitliği düzenlersek $49pq-7p-7q+1=(7p-1)(7q-1)=8$ elde edilir ancak $(7p-1)(7q-1)\geq 13^2$ olur. Dolayısıyla $1$ olamaz.

Eğer $7$ ise $pq=p+q+1$ olur. Buradan da $(p-1)(q-1)=2$ olduğundan $(p,q)=(3,2)$ seçebiliriz. $7$ olabilir.

Eğer $p$ ise $7q=1+p+q\implies 1+p=6q$ olur. $(p,q)=(11,2),(17,3),(29,5)$ olabilir. Yani $11,17,29$ olabilir.

Eğer $q$ ise $7p=1+p+q\implies 1+q=7p$ olur ama $p\geq q$ olduğundan bu imkansızdır.

Eğer $pq$ ise $p+q=6$ elde edilir. $(p,q)=(3,3)$'den $9$ olabilir.

Yani $5$ tane değere eşit olabilir.

[vedatde]

$  7pq/(1+p+q)  $ ifadesinin p,q asalları için aldığı tamsayı değerlerini bulabilmek için;
1+p+q=tk olsun.t asal sayı ve 1+p+q ifadesinin asal çarpanıdır.
Bu durumda t değeri 7 ,p yada q değerlerinden birini alır.7,p ve q değerleri birbirinden farklı
ya da aynı olabilir. Üçüde aynı ise yani üçüde 7 ise  $  7^3/(1+7+7)  =  7^3/3.5 $ olur ve çözüm gelmez.
Eğer $p=7$ ve q farklı asal ise $  49q/(1+7+q)=49q/(8+q) $   ,q=41 için tek çözüm var ve
verilen ifade $ 49.41/(8+41)=41$ değerini alır ve $41>31$ olduğu için çözüm gelmez.
Benzer şekilde eğer $ q=7$ için çözümleme yaparsak yine çözüm gelmez.

Şimdi de $ p=q≠7$ olsun.   $  (7p^2)/(1+2p)  $ ifadesinde 1+2p,p değerini bölemez.
$p^2$  değerini bölebilmesi için ancak $p^2=2p+1$ olmalıdır. Bununda çözümü yoktur.
Öyleyse 1+2p değeri 7' yi bölebilir. p=3 için bunu sağlar.
Bu durumda verilen ifade $  7pq/(1+p+q)=7.3.3/(1+3+3)=9 $  değerini alır.

Şimdide 7,p ve q birbirinden farklı olsun.7pq ifadesinin 8 böleni var.1,7,p,q,7p,7q,pq,7pq
$1+p+q$ değeri $1$ değerini bölemez.
$1+p+q$ değeri $7$ değerini bölemez. Çünkü p ve q birbirinde farklı olduğu için çözüm yok.
$1+p+q$ değeri p veya q değerini bölemez.  Çünkü $1+p+q≥ p$ veya $1+p+q≥q$
$1+p+q$ değeri $7p$ değerini bölebilir ancak eşit olmak zorundadır.
Bu durumda $7p=1+p+q$
$6p=q+1$  ve $p=2$ iken $q=11$ olur ve verilen ifade $q=11$ değerini alır.
$p=3$ iken ise $q=17$ olur ve verilen ifade $q=17$ değerini alır.
$p=5$ iken ise $q=29$ olur ve verilen ifade $q=29$ değerini alır.

Benzer şekilde $1+p+q$ değeri $7q$ değerini bölebilir ancak eşit olmak zorundadır.
Benzer çözümlemeyi yaptığımızda verilen ifade $11,17,29$ değerlerini alır.

$1+p+q$ değeri $pq$ değerini bölebilir ancak eşit olmak zorundadır.
$1+p+q=pq$
$p(q-1)=q+1$
$p=(q+1)/(q-1)=(q-1+2)/(q-1)=1+2/(q-1)  $   ve$ q=2$ için $p=3$ olur.
Verilen ifade $7$ değerini alır.
$q=3$ için $p=2$ olur ve verilen ifade yine $7$ değerini alır.

Benzer şekilde $1+p+q$ değeri $7pq$ değerini bölebilir ancak eşit olmak zorundadır.
$7pq=1+p+q$
$p=(1+q)/(7q-1) $ bu denkleminde $1+q>7q-1$ olması gerektiğinden $2≥6p$ olmalı çözüm yok.
Öyleyse verilen ifade $7,9,11,17$ ve $29$ değerlerini alır. Toplam $5 $ çeşit farklı değer alır.