Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 07

[matematikolimpiyati]

$x$ bir pozitif gerçel sayı olmak üzere $\lfloor {x^2} \rfloor + \lfloor {x} \rfloor$ şeklinde yazılamayan $2023$'ten küçük kaç tane pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 44  \qquad\textbf{e)}\ 90$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$S = \lfloor {x^2} \rfloor + \lfloor {x} \rfloor $ diyelim. $S$ azalmayan bir fonksiyondur. Soruyu daha iyi kavramak için $x$ e bazı değerler vermeyi tavsiye edebiliriz.

İlk olarak $0<x<1$ için $0<x^2<1$ olup $S =  \lfloor {x^2} \rfloor + \lfloor {x} \rfloor = 0 + 0 = 0$ olur. $x=1$ için $S= 1 + 1 = 2$ olur. Yani $S\neq 1$ dir. $x=\sqrt{2}$ için $S=2+1=3$ olur. $x=\sqrt{3}$ için $S=3+1=4$ olur. $S=5$ olabilir mi, inceleyelim. $\lfloor {x^2} \rfloor + \lfloor {x} \rfloor = 5$ ise $\lfloor {x^2} \rfloor = 4, \lfloor {x} \rfloor =1$ ya da $\lfloor {x^2} \rfloor = 3, \lfloor {x} \rfloor =2$ olmalıdır. Bu iki durumun da imkansız olduğunu anlamak zor değildir. $S \neq 5$ tir. $x=2$ için $S=4+2=6$ olur. Şu ana kadar $S \not\in \{1, 5\}$ olduğunu anladık. Şimdi daha genel bir çözüme geçebiliriz.

$a\geq 0$ bir tam sayı ve $0\leq b<1$ olmak üzere $x=a+b$ olsun. Yani $\lfloor {x} \rfloor = a$ olacaktır. $S = \lfloor {x^2} \rfloor + \lfloor {x} \rfloor = \lfloor {a^2 + 2ab+ b^2} \rfloor + a$ olur. $a^2$ bir tam sayı olduğundan $S=a^2 + a +  \lfloor {2ab+ b^2} \rfloor $ yazabiliriz. Bu durumda $b$ yi değiştirerek $S$ nin hangi değerleri alabileceğini belirleyelim.

$S$ nin en küçük değerini alması için $b=0$ alırız ve $S_{\min} = a^2 + a$ olur. $S$ nin en büyük değerini alması için $b\to 1^{-}$ (yani $1$ e çok yakın ama $1$ den küçük) alırız. Bu durumda $2ab\to 2a^{-}$ (yani $2a$ ya çok yakın ve $2a$ dan küçük) ve $b\to 1^{-}$ olduğundan $2ab + b^2 \to (2a+1)^{-}$ olur. $\lfloor {(2a+1)^{-}} \rfloor  = 2a$ ve $S_{\max} = a^2 + 3a$ olur. Böylece $\lfloor {x} \rfloor = a$ iken $S \in [a^2 + a, a^2 + 3a]$ olur.  $\lfloor {x} \rfloor = a+1$ iken $S \in [(a+1)^2 + a+1, (a+1)^2 + 3(a+1)] = [a^2 + 3a+1, a^2 + 5a+2]$ olur. Bu iki aralıkta da bulunmayan tam sayı $a^2 + 3a + 1$ dir. $S\neq a^2 + 3 a + 1$ dir.

Başta da bulduğumuz bilgilerle uyumlu olarak $a=0$ için $S \neq 1$, $a=1$ için $S \neq 5$ tir. $a^2 + 3a + 1<2023$ olan en büyük $a$ tam sayı değerini araştıralım. $a^2<2025$ olup $a<45$ tir. $a=44$ denenirse $44^2 + 3\cdot 44 + 1 = 1936 + 132 + 1 = 2069 > 2023$ tür. $a=43$ denenirse $43^2 + 3\cdot 43 + 1 < 2023$ olur. $0\leq a \leq 43$ tam sayıları ile elde edilen $a^2 + 3a + 1$ formundaki $44$ tane tam sayıyı $S$ e eşit olacak biçimde yazamayız.

[eren_k]

$x=n+r$, $n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$ and $0\le r<1$ olsun. Şu kümeyi tanımlayalım:
\[
S_n = \{\lfloor x^2\rfloor + \lfloor x \rfloor : \lfloor x \rfloor =n\}.
\]
$x^2 = n^2+2nr+r^2$ kullanılarak,
\[
\lfloor x^2 \rfloor +\lfloor x \rfloor = n^2+n+\lfloor 2nr+r^2\rfloor
\]
elde edilir. Şimdi, sabit bir $n$ sayısı için $\lfloor 2nr+r^2\rfloor$ ifadesinin $0\le r<1$ iken alacağı değerler kümesinin $\{0,1,\dots,2n\}$ nin altkümesi olduğunu görelim (çünkü $2nr+r^2<2n+1$). Buradan, $S_n\subseteq\{n^2+n,\dots,n^2+3n\}$ bulunur. Şimdi, herhangi bir $k\in\{0,1,\dots,2n\}$ için, $r=\sqrt{n^2+k}-n$ alarak $r^2+2nr=k$ elde edilebilir. Dahası, $0\le r<1$ sağlanır, yani $S_n  = \{n^2+n,\dots,n^2+3n\}$. Bu şekilde yalnızca $n^2+3n+1$ şeklindeki sayıların yazılamayacağını görmüş oluruz, dolayısıyla cevap $44$ olur.