Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$p$ bir asal sayı, $n<p$ bir pozitif tam sayı olmak üzere,
$$p^2 \mid n^5+n^4+7n^3+n^2+n+7$$
şartını sağlayan kaç $(n,p)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$n^5+n^4+7n^3+n^2+n+7=(n^2+n+7)(n^3+1)=(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+7)$ yazarsak $n\geq 1$ olduğundan $n^2-n+1<p^2$ ve $n+1<p+1\leq p^2$'dir.

Eğer $p^2\mid n^2+n+7$ ise $p=2$ için çözüm yoktur. $p=3$ için sadece $n=1$ olabilir. $p\geq 5$ için $$p^2\leq n^2+n+7<p^2+p+7\leq 2p^2\implies p^2=n^2+n+7$$ olacaktır. Buradan $$4n^2+4n+28=(2n+1)^2+27=4p^2\implies (2p-2n-1)(2p+2n+1)=27$$ olur. Buradan $(p,n)=(7,6)$ elde edilir.

Geriye kalan durumlarda $p$ asalı $n+1$, $n^2-n+1$ ve $n^2+n+7$'den iki tanesini bölmelidir.

Eğer $p\mid n+1$ ve $p\mid n^2-n+1$ ise $p\mid (n^2-n+1)-(n+1)(n-2)=3$ ve $p=3$ elde edilir. $(p,n)=(3,2)$ olabilir.

Eğer $p\mid n+1$ ve $p\mid n^2+n+7$ ise $p\mid (n^2+n+7)-n(n+1)=7$ ve $p=7$ elde edilir. $(p,n)=(7,6)$ durumunu daha önceden bulmuştuk.

Eğer $p\mid n^2+n+7$ ve $p\mid n^2-n+1$ ise $p\mid (n^2+n+7)-(n^2-n+1)=2n+6$ elde edilir. $p=2$ için çözüm gelmediğinden $p\mid n+3$ olacaktır. Buradan $$p\mid (n^2+n+7)-(n+3)(n-2)=13\implies p=13$$ elde edilir. $p\mid n+3$ olduğundan $n=10$ olmalıdır. $(p,n)=(13,10)$ elde edilir.

Tüm ikililer $(p,n)=(3,1),(3,2),(7,6),(13,10)$'dur.