Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 01

[matematikolimpiyati]

$s(\widehat{B})=90^{\circ}$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarının orta noktası $M$ olmak üzere, $M$ den $AC$ ye çizilen dikmenin $BC$ ile kesişimi $N$ olsun. $|BN|=8$ ve $|CN|=17$ ise $|MN|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 13  \qquad\textbf{c)}\ 15  \qquad\textbf{d)}\ 17  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İstenen şekli çizelim, B'den AC 'ye inilen dikmenin ayağına D diyelim. m(BNM)=a olsun. m(NCD)=b olsun. O zaman ABC üçgeninde iç açılardan m(BAC)=a olur. Dolayısıyla NBM üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir. AM=MB=x olsun. AB/NB=2x/8=BC/BM=9/x tir. O zaman içler dışlar çarpımı yapar isek 2x²=72 ve x'i +6 veya -6 buluruz. Geometri sorusu olduğundan x=BM=6 dır. MBN üçgeni 6-8-10 üçgeni hâlini alıe ve MN=10 bulunur. Cevabımız 10, A'dır.

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$MN$'nin $AC$'yi kestiği nokta $D$ olsun. Menelaus teoreminden $$\frac{|BN|}{|NC|}\cdot \frac{|CD|}{|DA|}\cdot \frac{|MA|}{|MB|}=1\implies \frac{|CD|}{|DA|}=\frac{17}{8}$$ elde edilir. $|CD|=17k$ ve $|DA|=8k$ diyelim. $ADM$ ve $NBM$ üçgenlerinin benzerliğinden, eğer $|MN|=x$ dersek, $|MA|=|MB|=xk$ ve $|MD|=xk^2$ elde edilir. Yine Menelaus teoreminden, $$\frac{|AD|}{|AC|}\cdot \frac{|CB|}{|BN|}\cdot \frac{|MN|}{|MD|}=\frac{9}{25k^2}=1\implies k=\frac{3}{5}$$ elde edilir. $NBM$ üçgeninin kenarları $8-\frac{3x}{5}-x$ olduğundan Pisagor teoreminden $x=10$ bulunur. Ayrıca $\frac{3}{5}$ oranından dolayı aslında üçgenin $6-8-10$ üçgeni olduğu da görülebilir. Dolayısıyla $|MN|=10$'dur.