Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 13

[matematikolimpiyati]

Bir kenarının uzunluğu $6$ olan $ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BE|=4$ olan bir $E$ noktası alınıyor. $DE \cap AB = \{K\}$ ve $AE \cap DC = \{L\}$ olmak üzere, $EKL$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13\sqrt{10}}{6}  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{8\sqrt{13}}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$KBCF$ dikdörtgenini kuralım.
$BK=12$, $BE=4$, $CE=2$, $LF=9$, $KF=6$.

$\begin{array}{lcl}
\text{Alan}(KEL) &=& \text{Alan}(BKFC)-\text{Alan}(BEK)-\text{Alan}(CEL)-\text{Alan}(KFL)\\
&=& 72-24-3-27 \\
&=& 18
\end{array}$.
(Alternatif olarak $\text{Alan}(KEL)=\text{Alan}(AED)=\text{Alan}(ABCD)/2=18$)

Üçgenin çevrel yarıçapının kullanıldığı alan formülünden $$\text{Alan}(KEL)=\dfrac{KE\cdot EL\cdot LK}{4R}=18$$
$R=\dfrac{4\sqrt{1^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+3^2}\cdot 3\sqrt{2^2+3^2}}{4\cdot 18}=\dfrac{13\sqrt{10}}{6}$.