Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 06

[matematikolimpiyati]

$a,b,c$ sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere,
$$100a+10b+c=(a+b+c)(a+b+c+1)$$
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, $a+b^2+c^3$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 196  \qquad\textbf{b)}\ 212  \qquad\textbf{c)}\ 242  \qquad\textbf{d)}\ 286  \qquad\textbf{e)}\ 346$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

100a+10b+c= (a+b+c)(a+b+c+1) = (a+b+c)²+(a+b+c) olduğundan (a+b+c) yi sol tarafa atar isek 99a+9b= (a+b+c)² elde ederiz. Yani 9(11a+b) = (a+b+c)² a,b,c sıfırdan büyük rakamlar ise 11a+b>11 dir. Sağ taraf (a+b+c)² bir tamkare olduğundan 11a+b de tamkare olmalıdır ve 11 den büyük ve 108'den küçük olmalıdır. 16'yı dener isek a=1 b=5 ve buna bağlı olarak c=6 elde edilir. Bu bir çözümdür. Fakat 11a+b; 25,36,49,64,81,100 değerlerinden herhangi birini alamaz. Nedeni ise 11a+b nin 16 dan büyük tamkare değelerinde sağ taraftaki eşitlikte c değeri rakam olmaz, 10 a büyük eşit olur. O zaman tek bir (a,b,c) sıfırdan farklı rakam olan üçlü vardır ve o da (1,5,6) dır. Soruda bizden istenen ise a+b²+c³= 1+25+216= 242 dir. Cevabımız C'dir.