Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 29

[matematikolimpiyati]

Bir dışbükey $ABCDE$ beşgeninin kenar uzunlukları $|AB|=7$, $|BC|=\sqrt{10}$, $|CD|=4$, $|DE|=3$ ve $|EA|=8$ olarak verilmiştir. $s(\widehat{D})=90^{\circ}$ ve $BE \parallel CD$ ise $|AC|$ uzunluğu nedir?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 3+4\sqrt3  \qquad\textbf{d)}\ 7+2\sqrt2  \qquad\textbf{e)}\ 10$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{C}$

$BE \parallel CD$ olduğu için $s(\widehat{BED})=90^{\circ}$'dir. $C$'den $EB$'ye inilen dikmenin ayağına $F$ diyelim. $EDCF$ dikdörtgen olur ve $|EF|=4, |FC|=3$ yazabiliriz. $FBC$ dik üçgeninde pisagor teoreminden $|FB|=1$ bulunur.
$AEB$ üçgeninde kosinüs teoreminden
$8^2+5^2-2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos{(\widehat{AEB})} =7^2 \implies \cos{(\widehat{AEB})}=\dfrac12 \implies s(\widehat{AEB})=60^{\circ}$ elde ederiz.
$30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ üçgenindeki kuraldan dolayı $A$'dan $EB$'ye indireceğimiz dikme ayağının $E$'ye uzaklığı $4$ birim olmalıdır. Buradan da dikme ayağının $F$ noktası olduğunu anlarız. Yani $A,F,C$ noktaları doğrusal olmuş olur ayrıca $|AF|=4\sqrt3$ olduğu için $|AC|=|AF|+|FC|=4\sqrt3+3$ sonucuna ulaşırız.