$3k+2$ formatındaki asal sayılar

[Lokman Gökçe]

$3k+1$ formatındaki asal sayıların sonsuz çoklukta olduğu burada tartışılmıştı. Şimdi de $3k+2$ formatındaki asal sayılar ile ilgili aşağıdaki teoremi ispatlayalım.


Teorem: $p\equiv 2 \pmod{3}$ olan sonsuz çoklukta $p$ asal sayısı vardır.

[Lokman Gökçe]

İspat: İspatı, olmayana ergi (çelişki) yöntemiyle yapalım. Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu varsayalım. $3k+2$ formundaki tüm asal sayılar $p_1, p_2, \dots, p_n$ olsun. Bu formdaki tüm asalların kümesini $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ ile gösterelim. Örneğin $p_1=2$ dir. Yani her $1\leq i\leq n$ için $p_i \equiv 2 \pmod{3}$ olsun. O halde
$$ P = 4\cdot p_1^2 p_2^2 \cdots p_n^2 + 1$$
sayısını tanımlarsak $P\equiv 2 \pmod{3}$ olur. $P$ sayısı $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ kümesinin bir elemanı değildir. Ayrıca $3\nmid P$ ve her $i$ için $p_i \nmid P$ dir. O halde $P$ nin asal bölenleri $q_j \equiv 1 \pmod{3}$ formundaki sayılardan oluşmaktadır. Burada $1 \leq j \leq m$ biçiminde tam sayılar olup $P= q_1^{a_1}q_2^{a_1}\cdots q_m^{a_m}$ biçiminde asal çarpanlara ayrılır. Bu ifadeyi modülo $3$ te incelersek, her bir çarpan $1$ kalanı verdiğinden $P\equiv 1 \pmod{3}$ elde edilir. Bu ise başlangıçta bulduğumuz $P\equiv 2 \pmod{3}$ bilgisiyle çelişir.

Bu çelişkinin oluşma sebebi $S$ kümesinin sonlu elemanlı kabul edilmesidir. Yani, teoremin ifadesi doğru olup $p\equiv 2 \pmod{3}$ formunda sonsuz çoklukta asal sayı vardır.

[Lokman Gökçe]

2. İspat: İspatı, yine olmayana ergi (çelişki) yöntemiyle yapalım. Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu varsayalım. $3k+2$ formundaki tüm asal sayılar $p_1, p_2, \dots, p_n$ olsun. Bu formdaki tüm tek asalların kümesini $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ ile gösterelim. Örneğin $p_1=5$ dir. Yani her $1\leq i\leq n$ için $p_i \equiv 2 \pmod{3}$ olsun. O halde
$$ P = 3\cdot p_1 p_2 \cdots p_n + 2$$
sayısını tanımlarsak $P\equiv 2 \pmod{3}$ olur. $P$ sayısı $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ kümesinin bir elemanı değildir. Ayrıca $2\nmid P$, $3\nmid P$ ve her $i$ için $p_i \nmid P$ dir. O halde $P$ nin asal bölenleri $q_j \equiv 1 \pmod{3}$ formundaki sayılardan oluşmaktadır. Burada $1 \leq j \leq m$ biçiminde tam sayılar olup $P= q_1^{a_1}q_2^{a_1}\cdots q_m^{a_m}$ biçiminde asal çarpanlara ayrılır. Bu ifadeyi modülo $3$ te incelersek, her bir çarpan $1$ kalanı verdiğinden $P\equiv 1 \pmod{3}$ elde edilir. Bu ise başlangıçta bulduğumuz $P\equiv 2 \pmod{3}$ bilgisiyle çelişir.

Bu çelişkinin oluşma sebebi $S$ kümesinin sonlu elemanlı kabul edilmesidir. Yani, teoremin ifadesi doğru olup $p\equiv 2 \pmod{3}$ formunda sonsuz çoklukta asal sayı vardır.