2004 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 4

[matematikolimpiyati]

$r_1,r_2,...,r_{110},r_{111}$ rasyonel sayıları, her $n$ pozitif tam sayısı için
$$\{n . r_1\} + \{n . r_2\}+ ... + \{n . r_{110}\}+ \{n . r_{111}\} < 55,5$$
eşitsizliğini sağlasın. Bu durumda :

a) $r_1,r_2,...,r_{111}$ sayılarından en az birinin tam sayı olduğunu gösteriniz.

b) $55,5$ yerine $55,55$ alındığında, a) şıkkındaki iddianın doğru olmadığını gösteriniz.

(Yukarıda, $\{x\}$ ifadesi $x$'in kesir kısmı olup, $\{x\}=x-\left[ x \right]$ olarak tanımlanır.)

[Metin Can Aydemir]

$a)$ Aksini varsayalım, $r_1,r_2,\dots,r_{111}$ sayıları tamsayı olmasın. $(p_i,q_i)=1$ ve $q_i>0$ için $r_i=\frac{p_i}{q_i}$ olarak gösterelim. $n=1$ için $$\sum_{i=1}^{111}\{r_i\}<55.5$$ olur. $n=q_1q_2\dots q_{111}-1$ için $\{nr_i\}=\left\{q_1q_2\dots q_{i-1}p_iq_{i+1}\dots q_{111}-\frac{p_i}{q_i}\right\}=1-\{r_i\}$ olacaktır. Buradan, $$\sum_{i=1}^{111}\{nr_i\}=\sum_{i=1}^{\infty}(1-\{r_i\})=111-\sum_{i=1}^{111}\{r_i\}<55.5\implies \sum_{i=1}^{111}\{r_i\}>55.5$$ elde edilir. Bu bir çelişkidir, en az bir $r_i$ tamsayı olmalıdır.

$b)$ $r_1=r_2=\cdots=r_{111}=\frac{1}{2}$ alalım. Bu durumda $\{nr_i\}=0$ veya $\frac{1}{2}$ olacaktır. Yani $\{nr_i\}\leq \frac{1}{2}$'dir. Buradan $$\sum_{i=1}^{111}\{nr_i\}\leq \frac{111}{2}<55.55$$ elde edilir. Sınırın $55.55$'e, hatta $55.5$'den büyük herhangi bir değere çekilmesi halinde $a$ şıkkı hatalı olacaktır.