2004 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 4

[matematikolimpiyati]

$ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarının orta noktasından çizilen dikme $B$ açısının açıortayını $E$ noktasında ve $[AB]$ kenarının orta noktasından çizilen dikme ise $B$ açısının açıortayını $F$ noktasında kesiyor(şekilden izleyiniz). $B$ açısının açıortayının çevrel çemberle kesişim noktası $G$ olsun. $|BE|=|FG|$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

Orta dikmeler üçgenin çevrel merkezinde, $O$ da kesişir.
$\angle OEF = 90^\circ -\angle EBC =90^\circ -\angle EBA =  \angle OFB$ olduğu için $OE=OF$.
$O$ dan $EF$ ye inilen dikme hem $EF$ yi hem de $BG$ yi ortalayacağı için $BE=FG$ dir.

[geo]

$\angle AFG = 2\angle ABF= \angle ABC$,
$\angle CEG = 2\angle CBE= \angle CBA = \angle AFG$,
$\angle FGA = \angle BCA$,
$\angle EGC =\angle BAC$.
$AG=GC$ olduğu için $\triangle FGA \cong \triangle ECG$.
$FG = EC=BE$.