2003 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Şekilde $|BC|=2|AC|,\ m(\widehat{CAE})=m(\widehat{CBA})$ ve $m(\widehat{FCE})=m(\widehat{ECB})$ olarak verilmiştir. Buna göre, $|AE|=|AB|$ olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Açıları incelediğimizde $m(ADC)=m(BAC)$ olduğu görülür. Buradan ilerleyerek $ACD$ üçgeni ile BCA üçgeninin benzer üçgenlerdir. Soruda bize $\frac{AC}{BC}= \frac{1}{2}$ oranı veriliyor ve orantıları yazarsak:
 
    $\frac{|AC|}{|BC|}= \frac{1}{2} = \frac{|CD|}{|CA|} = \frac{|AD|}{|AB|}$ dir.

   $|AC|=2k$ olsun . O zaman $|BC|=4k$ , $|CD|=k$ ve $|BD|= 3k$ olur.


$FCB$ açısını dış açıortay olarak kullanmalıyız. $FCB$ açısı $ACE$ üçgeninin dış açıortayıdır.

$|AD| = z$ ve $2|AD|=|AB|$ den $|AB|=2z$ eşitliklerini yazalım ve $ACE$ üçgeninde dış açıortay teoremini uygulayalım:

$\frac{|CD|}{|CA|}= \frac{|ED|}{|EA|}$

=> $\frac{k}{2k }= \frac{1}{2} = \frac{|ED|}{(|ED|+z)}$  ise
 
       --->$|ED| = z$ bulunur.

 Buna göre $|AB|= 2z=z+z=|AD|+|ED| =|AE|$


Yani $|AB|=|AE|$ dir ve ispat biter.