2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$2a_n+a_{n-1},\ (n=1,2,3,...)$ dizisinin sınırlı olması halinde $a_n,\ (n=0,1,2,...)$ dizisinin de sınırlı olacağını gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$n\geq 0$ için $b_n=2a_{n+1}+a_n$ şartını sağlayan $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisinin sınırlı ancak $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisinin sınırlı olmadığını varsayalım. $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisi sınırlı olduğundan her $n\geq 0$ için $|b_n|<M$ olacak şekilde bir $M>0$ reel sayısı vardır. $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisi sınırlı olmadığından $|a_{N+1}|>M$ olacak şekilde bir $N$ doğal sayısı vardır. Üçgen eşitsizliğinden $$2|a_{N+1}|-|a_N|\leq |2a_{N+1}+a_N|=|b_N|<M\implies 2|a_{N+1}|<M+|a_N|$$ $|a_{N+1}|>M$ olduğundan $$2M<M+|a_N|\implies M<|a_N|$$ elde edilir. Bu şekilde devam edersek $M<|a_0|$ elde edilir. $M$ sayısı istenildiği kadar büyük seçilebileceğinden $M\geq |a_0|$ olacak şekilde seçebiliriz. Bu $M$ değeri için çelişki elde edilir. Dolayısıyla $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisinin sınırlı olmadığı kabulumuz hatalıdır. Bu dizi de sınırlı olmalıdır.