2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$p$ ve $q$ tek asal sayılar ve $p$ ile $q$ arasında başka asal sayı yoksa, $p+q$ sayısının, her biri $1$'den büyük en az üç tane doğal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini gösteriniz.
(Çarpanların farklı olmaları gerekmez)

[Metin Can Aydemir]

$1$'den büyük en az üç tane doğal sayının çarpımı olarak yazılamayan sayılar $r,s$ asalları için (farklı olmak zorunda değil) $1,r,rs$ formatındaki sayılardır. $p+q$'nun bu formatlardan biri olduğunu kabul edelim. $p+q$ çift ve $p+q\geq 8$ olduğundan $1$ veya $r$ formatında olamaz. Farz edelim ki $p+q=rs$ formatında olsun. $p+q$ çift olduğundan genelliği bozmadan $s=2$ kabul edebiliriz. Buradan $$p+q=2r$$ bulunur. $p$ ve $q$ farklı olduğundan (farklı olduğu söylenmemiş ama sorunun doğruluğu için farklı olmalıdır) $r$ asalı $p$ ve $q$ arasında olmalıdır. Ancak $p$ ve $q$ arasında asal sayı olmadığından bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $p+q$ bu formatların hiçbirinde değildir. Dolayısıyla $p+q$, en az $3$ tane birden büyük doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir.