O halde tek sayı koşulu altında çözelim.
$n>1$ olduğundan $n$'yi asal çarpanlarına ayırabiliriz. $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$ şeklinde asal çarpanlarına ayıralım. $n$ tek sayı olduğundan $p_i\geq 3$'tür. Pozitif bölenlerin toplamı $$T(n)=\prod_{i=1}^{k}(1+p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{a_i})=\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$$ formülüyle hesaplanır. Bizim ispatlamamız gereken eşitsizlik her $p\geq 3$ asalı ve $a\geq 1$ tamsayısı için $$\left(\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\right)^3=(1+p+p^2+\cdots+p^a)^3< p^{4a}$$ olduğudur. Bu eşitsizlik sonucunda $p$ ve $a$ yerine $i=1,2,\dots,k$ için $p_i$ ve $a_i$ yazıp taraf tarafa çarparsak, istenilen eşitsizliği elde ederiz. $p=3$ durumunu sonra inceleyelim. $p\geq 5$ için
$a=1$ için eşitsizlik $(1+p)^3\leq p^4$ olduğunu ispatlamalıyız. $p=5,7$ için eşitsizlik sağlanır. $p\geq 11$ içinse $$(1+p)^3\leq (2p)^3< p^4$$ olduğundan eşitsizlik doğrudur.
$a=2$ için eşitsizlik $(1+p+p^2)^3\leq p^{8}$ olduğunu göstermeliyiz. $p=5$ için eşitsizlik doğrudur. $p\geq 7$ için $$(1+p+p^2)^3\leq 27p^6<49p^6\leq p^8$$ elde edilir.
$a\geq 3$ için $$(1+p+p^2+\cdots+p^a)^3< (a+1)^3p^{3a}$$ olduğundan $$(1+a)^3\leq p^{a}$$ olduğunu veya $p\geq 5$ olduğundan $5^a\geq (a+1)^3$ olduğunu ispatlamamız yeterlidir. Üstel fonksiyon, polinomdan çok daha hızlı arttığından ve $a=3$ için $5^a-(a+1)^3>0$ olduğundan her $p\geq 5$ ve $a\geq 3$ için eşitsizlik sağlanır.
Şimdi $p=3$ için eşitsizliği gösterelim, yani $$(3^{a+1}-1)^3< 8\cdot 3^{4a}\iff 0< (3^a-1)(8\cdot 3^{3a}-19\cdot 3^{2a}+8\cdot 3^{a}-1)$$ olduğunu gösterelim. $a\geq 1$ için $3^a-1>0$ ve $3a\geq 2a+1$ ve $8\cdot 3^a-1\geq 0$ olduğundan $$8\cdot 3^{3a}-19\cdot 3^{2a}+8\cdot 3^{a}-1>0$$ olur. Dolayısıyla eşitsizlik her $p,a$ için doğrudur.
