1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Bir çember üzerindeki bir $C$ noktasını $[AB]$ çapı üzerindeki bir $D$ noktasına birleştiren doğru çiziliyor. $C$ den $[AB]$ ye indirilen dikmenin ayağı $E;\ A$ dan $[CD]$ ye indirilen dikmenin ayağı $F$ ile gösterilmek üzere
$$|DC| \cdot |FC| = |BD| \cdot |EA|$$
olduğunu ispatlayınız.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman GÖKÇE]: $ACD$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $EDFH$ kirişler dörtgeni olduğundan $CF\cdot CD = CH\cdot CE$ dir. $ABC$ dik üçgeninde Öklid bağıntısından $CE^2 = AE \cdot EB$ dir. Ayrıca Diklik Merkezi başlığındaki Problem 8 özelliğinden dolayı $CE\cdot HE = AE\cdot ED$ dir.

Böylece,

$$ CF\cdot CD = CH\cdot CE = (CE - HE)\cdot CE = CE^2 - HE\cdot CE = AE \cdot EB - AE\cdot ED = AE\cdot (EB - ED) = AE \cdot DB $$

olup $DC \cdot CF = BD \cdot EA $ eşitliği elde edilir.