1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Birinci terimi $2$ olan ve ikinci teriminden itibaren her bir terimi bir önceki terimin rakamlarının beşinci kuvvetlerinin toplamına eşit olan (yani, ikinci terim $=2^5=32$; üçüncü terim $=3^5+2^5=275$,...) doğal sayı dizisinde birbirine eşit en az iki terim bulunduğunu kanıtlayınız.

[geo]

Üçüncü terim üç basamaklıdır.
Dördüncü terim, $2^5 + 7^5 + 5^5 < 3 \cdot 9^5 < 10^6$ olduğu için en fazla $6$ basamaklı olabilir. $7$ basamaklı olamaz. (Aslında $5$ basamaklıdır; ama bu bilgiye ihtiyacımız yok.)
Yedi basamaktan az bir basamağa sahip bir terim için $a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5 + f^5 \leq 6\cdot 9^5 < 9^6 < 10^6$ olduğu için bir sonraki terim de en fazla $6$ basamaklı olabilir.
Dolayısıyla bu dizinin tüm terimleri $10^6 = 1000000$ dan küçüktür. Dizide sonsuz terim olduğu için en az iki terim aynı olacaktır.

Not:
Dizinin önceki elemanlarından birine eşit olan bir terimine rast geldiğimizde bu terimden itibaren dizi periyodik bir halde gelecektir.
Bilgisayar yardımıyla $a_{38} = a_{50} = \dots = a_{38 + 12k} = 119366$ olarak hesaplanabilir.