1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$m^2+(m+1)^2=n^4+(n+1)^4$ eşitliğini sağlayan $m$ ve $n$ pozitif tam sayılarının bulunmadığını gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

İfadenin sol tarafını tamkareye tamamlayalım, $$2m^2+2m+1=n^4+(n+1)^4\iff 4m^2+4m+1=2n^4+2(n+1)^4-1$$ $$\iff (2m+1)^2=4n^4+8n^3+12n^2+8n+1$$ Şimdi sağ tarafı tamkareye benzetmeye çalışalım. $(2n^2+2n+1)^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$ olduğundan $$(2m+1)^2=4n^4+8n^3+12n^2+8n+1>4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=(2n^2+2n+1)^2$$ olur. Buradan $2m+1\geq 2n^2+2n+2$ olur. Bir taraf tek sayı diğeri çift sayı olduğundan eşitlik sağlanamaz. Dolayısıyla $2m+1\geq 2n^2+2n+3$ olur. Buradan $$(2m+1)^2=4n^4+8n^3+12n^2+8n+1\geq (2n^2+2n+3)^2=4n^4+8n^3+16n^2+12n+9$$ $$\iff 0\geq 4n^2+4n+8$$ olur ama $n>0$ olduğundan çelişki elde edilir. Çözüm yoktur.

[geo]

$m^2+m^2+2m+1= n^4+ n^4+ 4n^3+6n^2+4n+1$

$2m^2+2m=2n^4+4n^3+6n^2+4n$

$m^2+m = n^4+2n^3+3n^2+2n = n(n^3+2n^2+3n+2) = n(n+1)(n^2+n+2)$

$k = n^2+n$ olsun.

$m^2+m = k(k+2)$ olur. Her iki tarafa $1$ eklersek $m^2+m+1= k^2+2k+1=(k+1)^2$ olur.
$m^2<m^2+m+1 = (k+1)^2<(m+1)^2$
Ardışık iki sayının kareleri arasında başka tam kare bulunamayacağı için denklemin çözümü yoktur.

[geo]

Denklemi $m^2 + m = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n$ biçimine getirelim. Şimdi, sol taraftaki ifade için $$n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n < n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n < n^4 + 2n^3 + 4n^2 + 3n + 2 $$ ya da $$(n^2+n)(n^2 + n+1) < n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n < (n^2 + n + 1)(n^2 + n + 2)$$ eşitsizliği sağlanacağından, $k=n^2 + n$ olmak üzere, $$k(k+1) < m(m+1) < (k+1)(k+2)$$ eşitsizliği de sağlanmalıdır. Buradan, $k<m<k+1$ olur. Fakat, iki ardışık tamsayı arasında başka bir tamsayı bulunmadığından, problemdeki eşitlik pozitif tamsayılarda sağlanamaz.

Çözen: Murat Bilge Badem

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 24.

[geo]

$f(x) = x^2 + (x+1)^2$, ($x \geq 1$) diyelim. $f$ 'nin  artan bir fonksiyon olduğu açıktır. $$f(n^2 + n) = 2n^4 + 4n^3 + 4n^2 + 2n + 1$$ $$f(n^2 + n + 1) = 2n^4 + 4n^3 + 8n^2 + 6n + 5$$ 'tir. Şimdi, $$n^4 + (n+1)^4 = 2n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$$ olduğundan, $$f(n^2 + n) < n^4 + (n+1)^4 < f(n^2 + n+1)$$ olur.
$n^2 + n$ ve $n^2 + n+1$ ardışık sayıları arasında hiç tamsayı bulunmadığından, artan $f$ fonksiyonu için $f(m) = n^4 + (n+1)^4$ sağlanacak biçimde $m \in \mathbf N$ yoktur.

Çözen: Bumin Yenmez

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 23.