Balkan Matematik Olimpiyatı 1992 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Her $n$ pozitif tam sayısı için

               $(2n^2+3n+1)^n \geq 6^n(n!)^2$

olduğunu gösteriniz.

(Kıbrıs)

[Eray]

Eşitliğin sol tarafında yer alan $2n^2+3n+1$ ifadesinin çarpanlara ayrılışı
$$2n^2+3n+1 = (n+1)(2n+1)$$
şeklindedir. Bu ifade bize bir özdeşliği hatırlatmalıdır:
$$1^2+2^2+\ldots+n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Bu fikrin ışığında verilen eşitsizliği düzenlersek
$$\left(\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}\right)^n \ge (n!)^2$$
$$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{1^2+2^2+\ldots+n^2}{n}\right)^n \ge (n!)^2$$
eşitsizliğini ispatlamak yeterlidir.

Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden,
$$\dfrac{1^2+2^2+\ldots+n^2}{n} \ge \sqrt[n]{1^2\cdot2^2\cdot\ldots\cdots n^2}$$
eşitsizliği doğrudur. İki tarafın da $n.$ kuvvetini alırsak,
$$\Longleftrightarrow \left(\dfrac{1^2+2^2+\ldots+n^2}{n}\right)^n \ge (n!)^2$$
elde edilir. Bu da sorudaki eşitsizliği ispatlar. $\blacksquare$