Balkan Matematik Olimpiyatı 1986 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve yarıçapı $r$ olsun. $I$'dan geçen bir doğru $ABC$'nin çevrel çemberini $F$ ve $G,$ iç teğet çemberini ise $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. ($D,\ I$ ve $F$'nin arasında)  $DF \cdot EG \geq r^2$ olduğunu kanıtlayınız. Eşitliğin ne zaman sağlanacağını belirleyiniz.

(Yunanistan)

[geo]

$O$ çevrel çember, $R$ çevrel çemberin yarıçapı, $FD=x$, $EG=y$ olsun.
Euler Teoreminden $OI^2=R^2-2Rr$.
$\triangle ODE$ de kenarortay teoreminden $OD^2+OE^2=2(OI^2+r^2)$.
$D$ ve $E$ noktalarının çevrel çemberdeki kuvvetlerinden (ya da $\triangle OFG$ ikizkenar üçgeninde Stewart'ın özel halinden) $OD^2=R^2-FD\cdot DG = R^2-x(2r+y)$ ve $OE^2=R^2-GE\cdot EF = R^2-y(2r+x)$ elde ederiz.
$OD^2+OE^2=2(R^2-2Rr+r^2)=2R^2-2r(x+y)-2xy$
$xy = -r^2+2Rr-r(x+y) = r(2R-r-x-y) =r(2R-FG+r)\geq r^2$
Eşitlik durumu için $FG$ nin çevrel çemberin çapı olması yani $I$ dan geçen doğrunun $O$ dan da geçmesi gerekir.

Sadece eşitlik durumunun sorulduğu burada işlenmiş.

[geo]

$O$ çevrel çember, $R$ çevrel çemberin yarıçapı, $FD=x$, $EG=y$ olsun.
Euler Teoreminden $OI^2=R^2-2Rr$.

$I$ noktasının çevrel çembere göre kuvvetini iki türlü yazalım:
$P(I)= R^2-OI^2 = R^2-(R^2-2Rr)=2Rr$.
$P(I)=FI\cdot IG = (x+r)(y+r)=xy + r(x+y+r) = 2Rr$
$xy = r(2R-x-y-r)= r(2R-(FG-r))=r(2R-FG + r) \geq r^2$