Balkan Matematik Olimpiyatı 1985 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninde$,\ AB$'nin orta noktası $D$ ve $ACD$ üçgeninin ağırlık merkezi de $E$ olsun. İspatlayınız ki $CD$'nin $OE$'ye dik olması için gerek ve yeter koşul $AB=AC$ olmasıdır.

(Bulgaristan)

[geo]

$AD$ nin orta noktası $F$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$, $BC$ nin orta noktası $H$ olsun.

$DE$, $AC$ yi ortalayacağı için $DE \parallel BC$.
$CG:GD=CE:EF=2:1$ olduğu için $GE \parallel DF$.
$OD \perp AB$ olduğu için $OD \perp GE$.

• $OE \perp CD$ ise $O$ $\triangle GED$ nin diklik merkezidir.
  $GO \perp ED$ ve $DE \parallel BC$ olduğu için $GO \perp BC$. Dolayısıyla da $O, G, H$ doğrusaldır. Bu da $\triangle BGC$ yi ikizkenar yapar. Bu da $\triangle ABC$ de $B$ ve $C$ köşelerine ait kenarortayların eşit olduğu anlamına gelir. İki kenartaoy eşitse bu üçgen ikizkenardır. (Kenarortay uzunluk formülleri yazılırsa kenarların eşit olduğu görülebilir.) Yani $AB = AC$ dir.
  
  
• $AB = AC$ ise $O, G, H$ doğrusaldır. Yani $OG \perp BC$ ve $GO \perp DE$. $OD \perp GE$ olduğu için $O$, $\triangle GED$ nin diklik merkezidir. Dolayısıyla, $OE \perp GD$