2015 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $AD$ açıortay$,\ O$ çevrel çemberin merkezi$;\ P \in [AC]$  ve $AO \perp DP;\ |BD|=4,\ |CP|=3$  ve $|DC|=6$ olduğuna göre$,\ |AP|$ kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 3\sqrt3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt6  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$

$AO\cap (ABC)=A'$  diyelim. $AA'\cap DP=T$  olsun. $AC\perp A'C$  olduğundan $A'CPT$  çemberseldir. $\angle APD=\angle AA'C=\angle ABC$  ve $\angle BAD=\angle DAC$  olduğundan $ABD\cong APD$  olur, $AB=AP$  bulunur. Açıortaydan $AB=2k$  ve $AC=3k$  dendiğinde $3k-3=2k\Rightarrow AB=AP=6$  bulunur.