Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 27

[alpercay]

$a$ bir tam sayı olmak üzere,  $x^3+x+a=0$ denkleminin kökleri ile ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ \text{Yalnızca sonlu sayıda $a$ için sadece bir kökü tam sayı olur.}$

$\textbf{b)}\ \text{Yalnızca bir kökü tam sayı olacak şekilde sonsuz sayıda $a$ vardır.}$

$\textbf{c)}\ \text{Yalnızca sonlu sayıda $a$ için bütün kökleri tam sayı olur.}$

$\textbf{d)}\ \text{Sonsuz tane $a$ için bütün kökleri tam sayı olur.}$

$\textbf{e)}\ \text{Hiçbir $a$ için tam sayı kökü olamaz.}$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Denklemin köklerinden biri $r$ olsun.
$P(x)=x^3+x+a=(x-r)(x^2+rx+r^2+1)+a+r+r^3$ ve $a=-r-r^3$ tür.
Buna göre her $r$ tam sayısı için $a$ bir tam sayı olacaktır.
$Q(x)=x^2+rx+r^2+1=0$ denkleminde $\Delta=r^2-4(r^2+1)=-3r^2-4<0$ olduğu için $Q(x)$ in gerçel kökü yoktur.
O halde $P(x)$ in tek gerçel kökü $r$ dir.
$S=\{r\in \mathbb Z \mid a = -r^3-r\}$ kümesine ait her $a$ sayısı için denklemin tek bir tam sayı kökü vardır.