Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 28

[alpercay]

$ABCD$ karesinin $[AD]$ ve $[CD]$ kenarları üzerinde sırasıyla $K$ ve $L$ noktaları  $m(\widehat{DAL})=30^\circ$  ve $m(\widehat{DCK})=15^\circ$ olacak şekilde seçiliyor.
$[CK]\cap [AL]=\{P\}$ olmak üzere $m(\widehat{APB})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 15
\qquad\textbf{b)}\ 30
\qquad\textbf{c)}\ 45
\qquad\textbf{d)}\ 60
\qquad\textbf{e)}\ 75
$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$\angle APC = 90^\circ + 30^\circ+15^\circ = 135^\circ$
$2\angle APC + \angle ABC = 360^\circ$ ve $AB=AC$ olduğu için $(APC)$ çemberinin merkezi $B$ dir. Yani $BA=BP$.
$\angle BAP = 90^\circ - 30^\circ =60^\circ$ olduğu için $\triangle APB$ eşkenardır.

[geo]

$A$ dan $CK$ ya inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$\angle HCA = 30^\circ$, $\angle PAC = 15\circ$, $\angle HAP = \angle HPA = 45^\circ$.
$AH=1$ dersek $\triangle AHP$ ikizkenar dik üçgen olduğu için $AP=\sqrt 2$.
$\triangle CAH$ bir $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ üçgeni olduğu için $AC=2$ ve karenin kenarı $AB=\sqrt 2$ olacaktır.
$AP=AB = \sqrt 2$ ve $\angle PAB = 60^\circ$ olduğu için $\triangle APB$ eşkenar üçgen ve $\angle APB = 60^\circ$ dir.

[geo]

$\angle APB = \alpha$ diyelim.
$\angle ABP = 120^\circ - \alpha$, $\angle PBC = \alpha - 30^\circ$, $\angle CPB = 135^\circ - \alpha$ olacaktır.
$\triangle ABP$ de ve $\triangle PBC$ de Sinüs oranlarını yazalım: $$\dfrac {AB}{BP} = \dfrac{\sin \alpha}{\sin 60^\circ}, \quad \dfrac {BP}{BC} = \dfrac{\sin 75^\circ}{\sin (135^\circ - \alpha)}$$ Taraf tarafa çarpıp düzenlersek $$\dfrac{\sin \alpha}{\sin (135^\circ - \alpha)} = \dfrac{\sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} = \dfrac{\sin 60^\circ}{\sin (135^\circ - 60^\circ)}$$ $\alpha = 60^\circ$ olduğu kolayca görülebilir.