Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 24

[matematikolimpiyati]

Elimizde $50$'si beyaz, $50$'si siyah olmak üzere toplam $100$ top var. Bunların tamamını her torbada en az bir top bulunacak şekilde iki torbaya dağıtıyoruz. Bu torbalardan birini rasgele seçerek, içinden yine rasgele bir top çekiyoruz. Birinci torbadaki beyaz top sayısını $x$, siyah top sayısını da $y$  ile gösterelim. Tüm dağılımlar arasında, çekilen topun beyaz olması olasılığını en büyük yapan $(x,y)$  sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ (50,0)  \qquad\textbf{b)}\ (49,48)  \qquad\textbf{c)}\ (25,25)  \qquad\textbf{d)}\ (1,2)  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Cevap, $(1,0)$ ya da $(49, 50)$ dir.

Topun beyaz gelme olasılığı: $P(x,y) = \dfrac 12 \cdot \dfrac x{x+y} + \dfrac 12 \cdot \dfrac {50-x}{100-x-y} = \dfrac 12 \left ( \dfrac x{x+y} + \dfrac {50-x}{100-x-y} \right )$.

$x+y = t$ olsun. Topun beyaz gelme olasılığını $P(x,y) = \dfrac 12 \cdot Q(x, t) = \dfrac 12 \left ( \dfrac {x}{t} + \dfrac {50-x}{100-t} \right )$ şeklinde de tanımlayabiliriz. $Q(x,t)$ en büyük değerini aldığında $P(x,y)$ de en büyük değerini alacaktır.

$Q(x,t) = Q(50-x, 100-t)$ olduğu kolayca görülebilir.

$t > 50$ olduğunda $Q(x, t)$ aradığımız en büyük değer olsun. $100 - t<50$ olacaktır.
$Q(x,t) = Q(50-x, 100 - t)$ olduğu için $Q(50-x, 100-t)$ de en büyük değer olacaktır.
Diyelim ki $Q(20, 60)$ en büyük değer, bu durumda $Q(30, 40)$ da en büyük değer olacaktır. Dolayısıyla en büyük değeri $t\leq 50$ iken aramakta bir sakınca yok.

Şimdi biraz düzenlemeyle $Q(x,t) = \dfrac {x}{t} + \dfrac {50}{100-t} - \dfrac {x}{100-t} = x\left ( \dfrac 1t - \dfrac 1{100-t} \right ) + \dfrac {50}{100-t}$ elde ederiz.

$1\leq t\leq 50$ olsun. $t$ yi sabit tuttuğumuzda $Q(x,t)$ fonksiyonu $x$ artarken artmakta. O halde $Q(x,t)$ en büyük değerini $x=t$ olduğunda alır.

$Q(x,x) =  \dfrac xx + \dfrac {50-x}{100-x} = 1 + \dfrac {100-x - 50}{100-x} =  2 - \dfrac {50}{100-x} = 2 - \dfrac {50}{100-x}$ olacağı için $\max Q(x,x) = Q(1,1) = 2 - \dfrac {50}{99} = \dfrac {148}{99}$ dur.

Aradığımız yanıt: $P(1, 0) = \dfrac 12 \cdot Q(1,1) = \dfrac 12 \cdot Q(50 - 1, 100 - 1) = \dfrac 12 \cdot Q(49, 99) = P(49, 50) = \dfrac {74}{99}$.