Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 19

[matematikolimpiyati]

Bir $[AX$  ışını üzerinde $|AO|=|OB|=|BC|$  olacak biçimde sırayla $O,B,C$  noktaları alınarak $O$  merkezli$,\ [AB]$  çaplı çember ve çember üzerinde $m(\widehat{BAD})=78^{\circ}$  koşulunu sağlayan $D$  noktasından bu çembere bir teğet çiziliyor. $C$  noktasından bu teğete indirilen dikmenin ayağı $E$  ise $EBC$  açısı kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 146  \qquad\textbf{b)}\ 144  \qquad\textbf{c)}\ 142  \qquad\textbf{d)}\ 140  \qquad\textbf{e)}\ 138$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$\angle ODE = \angle CED = 90^\circ$ olduğu için $ODEC$ bir dik yamuktur.
$DE$ nin orta noktası $M$ olsun. $BM$ bu yamukta orta tabandır, dolayısıyla $BM \perp DE$ dir.
$\triangle BDE$ de $BM$ hem yükseklik hem kenarortay olduğu için $BD=BE$ olacaktır.

$\angle MBE = \angle DBM = \angle ODB = \angle OBD = 90^\circ - \angle BAD = 12^\circ$ ve $\angle EBC = 180^\circ - \angle ABE = 180^\circ - 3\angle OBD = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$ dir.