Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$x,y$  gerçel sayıları için

$x^2+y^2=6$   ve   $x^3+y^3=14$  ise

$x^4+y^4$  toplamının alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{17\}  \qquad\textbf{b)}\ \{3,\ 4 \}  \qquad\textbf{c)}\ \{17,\ 10\sqrt{15}-22 \}  \qquad\textbf{d)}\ \{34,\ 20\sqrt{15}-44 \}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$xy=a$ diyelim. $x^2 + y^2 \geq 2xy \Rightarrow 3 \geq a$ dır.
$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 6 + 2a \Rightarrow x+y = \sqrt{6+2a}$.
$x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = 36 - 2a^2 \geq 18$.
Bu durumda cevap ya $(D)$ ya da $(E)$ olur. Cevap $(D)$ ise $a^2 = 1$ bir çözüm olarak gelecektir. Bu da derecesi $2$ den büyük bir polinom ile karşılaşırsak polinom bölmesi ile yolumuza devam edebileceğimiz anlamına gelir.

$x^3 + y^3 = (x+y)\left ( (x+y)^2 - 3xy \right ) = \sqrt {6+2a}(6+2a - 3a) = \sqrt {6+2a}(6-a) = 14$.
Her iki tarafın karesini alırsak $2(a+3)(6-a)^2 = 14^2 = 2\cdot 98 \Rightarrow (a^2 - 12a + 36)(a+3) = 98$.
$a^3 - 12a^2 + 36a + 3a^2 - 36a ^+ 108 - 98 = a^3 - 9a^2 + 10 = 0$ denkleminin bir çözümü $a=-1$ dir. Buradan $a^2 = 1$ gelir.

Polinom bölmesiyle $a^3 - 9a^2 + 10  = (a+1)(a^2 - 10a + 10)=0$ elde edilir. Diğer kökler $a_{2,3} = \dfrac {10 \pm \sqrt {60}}{2} = 5 \pm \sqrt {15}$ olur.
$3\geq a$ olması gerektiğinden $a_2 = 5  + \sqrt {15}$ sağlamaz. $a_3 = 5 - \sqrt {15} \Rightarrow a^2 = 25 + 15 - 10\sqrt {15} = 40 - 10 \sqrt {15}$

$a^2 = 1$ için $x^4+y^4 = 36 - 2a^2 = 34$.
$a^2 = 40 - 10 \sqrt {15}$ için $x^4+y^4 = 36 - 2a^2 = 36 - 2(40 - 10 \sqrt {15}) = 20\sqrt {15} - 44$ olur.