Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 35

[matematikolimpiyati]

Elemanlarından herhangi ikisi aralarında asal olan ve herhangi ikisinin farkı üçüncüsü ile bölünen, üç elemanlı tüm $\{a,b,c\} \subset \mathbb Z$  kümelerini dikkate aldığımızda, aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?

$\textbf{a)}$  $a,b,c$  sayılarından en az biri negatif olmalıdır.
$\textbf{b)}$  Sıfırdan farklı hangi $c$  tam sayısı verilirse verilsin, $\{a,b,c\}$  istenen koşulu sağlayacak biçimde $a$ ve $b$  tam sayıları bulunur.
$\textbf{c)}$  $a,b,c$  sayılarından en az birinin mutlak değeri $1$  ya da $2$  dir.
$\textbf{d)}$  $a,b,c$  ardışık tam sayılar olamaz
$\textbf{e)}$  Hiçbiri

[geo]

Metin Can Aydemir'in uyarısıyla bu çözümün yanlış olduğu görülmüştür.

Yanıt: $\boxed E$

$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılar $a\leq b \leq c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid  b-a$ olacaktır.

$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı. Bu durumda $(A)$ doğrudur.

Bu bilgiyi kullanarak $a\leq b \leq c$ ifadesini $-a \leq c - b$ şeklinde yazabiliriz.
$b-a\leq c \leq b-a$ olduğu için $c=b-a$.
$b \mid c - a$ ifadesi $ b \mid b-2a$ ya dönüşür. Bu da $b \mid 2a$ olduğu anlamına gelir. $(a,b)=1$ olduğu için $b \mid 2$ olmalı. Bu durumda $b \in \{-2,-1,1,2\}$ olacağı için $(C)$ de doğrudur.

Bu bilgiyle $(a,b,c)$ üçlülerinin $(a, -2, -a-2)$, $(a, -1, -a-1)$, $(a, 1, -a+1)$,$(a, 2, -a+2)$ şeklinde olduğunu söyleyebiliriz.
Bu üçlülerden hiçbiri ardışık üç tamsayıdan oluşamaz. $(D)$ de doğrudur.

Geriye sadece $(B)$ şıkkı kalıyor.
Sayılardan biri $-1$ ise $a<-1$ olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a-1)$ şeklinde seçilebilir.
Sayılardan biri $-2$ ise $a<-2$ tek sayı olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a-2)$ şeklinde seçilebilir.
Diğer negatif sayılar için, verilen sayıya $a$ dersek, diğer iki sayı $(1, -a+2)$ şeklinde seçilebilir.
Sayılardan biri $1$ ise $a<0$ olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a+1)$ şeklinde seçilebilir.
Sayılardan biri $2$ ise $a<0$ tek sayı olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a+2)$ şeklinde seçilebilir.
Diğer pozitif sayılar için $a<0$ olmak üzere diğer iki sayı $(1, -a+1)$ şeklinde seçilebilir.
Bu durumda $(B)$ de doğrudur.

[Metin Can Aydemir]

$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılar $a\leq b \leq c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid  b-a$ olacaktır.

$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı. Bu durumda $(A)$ doğrudur.

Burada kullanılan $m\mid n\implies |m|\leq |n|$ eşitsizliği $m,n\neq 0$ iken geçerlidir. Dolayısıyla $a=b=c$ durumunda bu eşitsizlik kullanılamaz. Bu duruma örnek olarak $(a,b,c)=(1,1,1)$ verilebilir.

[geo]

Düzeltme için teşekkürler.

$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılar $a\leq b \leq c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid  b-a$ olacaktır.

$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı. Bu durumda $(A)$ doğrudur.

Burada kullanılan $m\mid n\implies |m|\leq |n|$ eşitsizliği $m,n\neq 0$ iken geçerlidir. Dolayısıyla $a=b=c$ durumunda bu eşitsizlik kullanılamaz. Bu duruma örnek olarak $(a,b,c)=(1,1,1)$ verilebilir.

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılardan en az ikisi birbirine eşit olsun: $a,a,c$ gibi
$c \mid 0$ ve $a \mid c - a$ olmalı. İlki sıfırdan farklı her sayı için doğru, ikinci ise $a \mid c$ iken doğru. $(a,c)=1$ olduğu için $a \in \{-1, 1\}$ olmalı.
Her $c \neq 0$ sayısı için $(1,1,c)$ üçlüsü sorudaki şartı sağlar. ($c \mid 0$ ve $1 \mid c - 1$)
Bu durumda $(A)$ önermesi doğru değil ve $(B)$ önermesi doğrudur. (Her $c$ sayısı için $a=b=1$ alınabilir.)

Cevabın $(A)$ olduğu bu aşamada belirlenmiş oldu. Sorunun sıhhati açısından yine de devam edelim.

Sayıların ardışık olduğunu varsayalım.
$(a, a+1, a+2)$ için $a \mid 1$ ve $a+2 \mid 1$ olmalı. $a \in \{-1, 1\}$ ve $a+2 \in \{-1, 1\} \Rightarrow a \in \{-3, -1\}$ in ortak çözümü $a=-1$ dir.
$(-1,0,1)$ sayıları sorudaki şartı sağlamayacağı için $a,b,c$ sayıları ardışık tam sayılar olamaz. $(D)$ doğrudur.

Sayılardan en az ikisi birbirine eşitken bu eşit sayıların $-1$ veya $1$ olduğunu görmüştük. Bu şart altında $(C)$ şıkkı doğru oluyor. Diğer şartlar için $(D)$ nin doğruluğunu araştıralım:

Sayılardan hiçbiri diğerine eşit olmasın:
Sayılar $a < b < c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid  b-a$ olacaktır.

$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı.

Bu bilgiyi kullanarak $a\leq b \leq c$ ifadesini $-a \leq c - b$ şeklinde yazabiliriz.
$b-a\leq c \leq b-a$ olduğu için $c=b-a$.
$b \mid c - a$ ifadesi $ b \mid b-2a$ ya dönüşür. Bu da $b \mid 2a$ olduğu anlamına gelir. $(a,b)=1$ olduğu için $b \mid 2$ olmalı. Bu durumda $b \in \{-2,-1,1,2\}$ olacağı için $(C)$ de doğrudur.

Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(E)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.