Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 29

[matematikolimpiyati]

$x>0$  için $f(x+1)=x\cdot f(x)$  ve $f(1)=1$  ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ f(x)$'in en küçük değerini aldığı nokta $(1,2)$ aralığındadır.
$\textbf{b)}\ f(x)$'in en küçük değerini aldığı nokta $(0,1)$ aralığındadır.
$\textbf{c)}\ f(x)$ en büyük değerini $x=1$ noktasında alır.
$\textbf{d)}\ f(x)$'in en büyük değerini aldığı nokta $(1,2)$ aralığındadır.
$\textbf{e)}\ f(x)$'in en büyük değerini aldığı nokta $(2,\infty)$ aralığındadır.

[Lokman Gökçe]

Soru Hakkındaki Bazı Bilgiler ve Değerlendirmelerim:


$\bullet$ Elimde 1995 yılına ait gerçek Tübitak Lise 1. Aşama sınav kitapçığı (tarama-pdf vb) yoktur. Bu tür sınavların çözümlerine yönelik eskiden yazılmış kitaplar vardır. Soruyu Mustafa Töngemen'in 2007 basımlı kitabından aldım. Çok düşük bir ihtimal de olsa yazım hatası olabilir, bunu açıklamak için kaynak belirttim. Ayrıca, yazım hatası olduğunu düşünmüyorum.

$\bullet$ Kitaptaki çözümde özetle, $x$ in pozitif tam sayı olduğu varsayılarak $f(x) = (x-1)!$ olduğu gösterilmiştir. Teleskopik çarpım ile bu kısmın doğru olduğu kolayca görülür. Fakat kitaptaki çözümde, fonksiyonun tanım kümesi pozitif tam sayılar olarak alındığı için genel anlamda çözüm hatalıdır. $x$ pozitif tam sayı iken $(x-1)!$ sınırsızdır, buna dayanarak cevap (e) şıkkı verilmiştir. Sınırsız olan bir fonksiyon için en büyük değerden bahsetmek anlamsız olur. Bu sebeplerle verilen çözümü doğru bulmadım.

$\bullet$ Soruda $x>0$ verildiği için, $x=\dfrac{1}{2}, x= \sqrt{2}$ gibi rasyonel, irrasyonel değerler de alabilir. Aslında $f(x+1)=x\cdot f(x)$  denklemini ve $f(1)=1$ koşulunu sağlayan meşhur bir fonksiyon vardır, Gamma fonksiyonu:

$$ \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^{x-1} dt \text{ .}$$

Şimdi kitabi bir bilgi olarak, $x>0$ iken $\Gamma$ fonksiyonunun $x\approx 1,46$ için minimum olduğunu görüyoruz. Bu bilgilere dayanarak sorunun cevabı (a) seçeneği olacaktır. Elimizde resmi cevap anahtarı da yoktur. Cevap anahtarına ulaşabilseydik, belki de yanıtı (a) olarak görecektik. Muhtemelen yazar, bu tür bir sağlam bilgi ile sınav sorusunu yazdı. Bu yüzden soruda yazım hatası olduğunu düşünmüyorum.

$\bullet$ Soruda başka bir sıkıntı olduğunu düşünüyorum. $x>0$  için $f(x+1)=x\cdot f(x)$  ve $f(1)=1$ koşulu ile verilen fonksiyonel denklemin daha farklı çözümleri de olamaz mı? Fonksiyonun değer kümesinin neden pozitif gerçel sayılar olduğunu düşünüyoruz? Mesela $f(\frac{1}{2})=-5$ olamaz mı? $f$ nin sürekliliği veya türevlenebilirliği ile ilgili bir bilgi de sunulmamış problemde. Cauchy fonksiyonel denkleminde olduğu gibi, bu fonksiyonel denklem için de hiçbir yerde sürekli olmayan çözümler olamaz mı?

$\bullet $ Belki de Gamma fonksiyonundan başka, olabilecek tüm çözüm fonksiyonlarının $1<x<2$ aralığında mimimum değere sahip olduğu basit bir yolla ispatlanabiliyordur. Böyle bir durum varsa, soru tamamen aklanır.



Görüşlerinizi paylaşabilirseniz sevinirim.

[Lokman Gökçe]

Yukarıdaki açıklamalarımı matematik kafası sitesinde de paylaşmıştım. Emrah Sercan Yılmaz bey'in cevabı sorunun hatalı olduğunu gösteriyor.


Yanıt: Soru Hatalı olduğundan yanıt yoktur.


Çözüm [Emrah Sercan Yılmaz]: $(0,1)$ aralığı üzerinde $f(x) = \cot(-\pi x)$ ve $x=1$ için $f(1) = 1$ olarak tanımlanırsa bu fonksiyon bütün şıkları eler. Çünkü her $x>0$ için $f(x+1) = x\cdot f(x)$ bağıntısı yardımıyla tüm $x>1$ değerleri için görüntüler üretilebilir. Ayrıca $\lim_{x\to 0^{+}}\cot(- \pi x) = - \infty$ ve $\lim_{x\to 1^{-}}\cot(- \pi x) = \infty$ olup fonksiyonun maksimum veya mimimum değeri yoktur.

[Lokman Gökçe]

Burada Prof. Dr. Doğan Dönmez, bu problemdeki kusuru giderecek bir kaç düzenleme yaparak şu soruyu yazdı:

Soru: $f$, $(0,+\infty)$ da tanımlı, sürekli,  her $x \in (0,+\infty)$ için $f(x)>0$ ve her $x\in (0,+\infty)$ için $f(x+1)=xf(x)$ koşullarını sağlayan bir fonksiyon olsun. $f$ nin, minimum değerine $[1,2)$ aralığında eriştiğini gösteriniz.


Önceki çözümümde bazı düzeltmeler yaptım. Bu soruyla ilgili çözümüm şu şekildedir:

Çözüm: $f(x+1)=xf(x)$ ifadesinde $x=1,2,\dots, n$ pozitif tam sayı değerlerini verdiğimizde elde ettiğimiz denklemleri (teleskopik) çarparsak $f(n+1) = n!f(1)$ elde ediyoruz. $f(1)=c$ bir pozitif gerçel sabit olsun. $(1,c), (2,c), \dots , (n+1, n!c), \dots $ gibi tam sayı apsisli noktaları birbirine bağlayan bir eğri $f$  grafiğini oluşturacaktır. $0<x\leq 1$ için $f(x)$ değerleri belirlendiğinde, fonksiyonel denklem gereği tüm değerler belirlenmiş olacak.

 

Süreklilik şartından dolayı, $\displaystyle{ \lim_{x\to 0^+} xf(x) = \lim_{x\to 0^+} f(x+1) = f(1) = c }$ olur. $x>0$ için $f(x) = \dfrac{f(x+1)}{x}>0$ ve dolayısyla $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{f(x+1)}{x} = \dfrac{c}{0^+} = + \infty }$ olur.

 

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty }$ ve $f$ sürekli olduğu için, $f$ nin $x\in (0,1]$ aralığında tanımlı parçası için bir minimum değeri vardır. Bu noktanın apsisini $0<x_0\leq 1$ ile gösterelim. $f(1+x_0) = x_0 f(x_0) \leq f(x_0)$ olduğundan $1< x \leq 2$ iken daha küçük görüntü elde etmiş olduk. Sürekli bir fonksiyonun bir kapalı aralıkta maksimum ve minimum değerlere sahip olduğunu biliyoruz. $x \in 1[1,2]$ için $x+1\in[2,3]$ olup $f(x+1) = xf(x) \geq f(x)$  olduğundan $f$ nin $[2,3]$ aralığında elde edilen minimum değeri, $[1,2]$ aralığındaki minimum değerden daha büyük olmaktadır. Benzer şekilde, herhangi bir $n\geq 2$ pozitif tam sayısı için; $f$ nin $[n,n+1]$ aralığında elde edilen minimum değeri, $[n-1,n]$ aralığındaki minimum değerden daha büyük olmaktadır.

 

Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun global minimum değeri $[1,2]$ aralığındadır. $f(1)=f(2)$ olduğundan $f$ nin minimum değerine eriştiği bu aralığı $[1,2)$ olarak da ifade edebiliriz

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle $f$ nin $(0,1]$ aralığındaki parçası ile ilgilenelim. $f$ bu alt aralıkta sürekli ve pozitif tanımlı olduğundan bir minimum değere sahiptir.

Buradaki herhangi bir hata yok ama bu önermeyi göstermek gerekiyor çünkü bariz değil. Eğer fonksiyon $x\to 0^+$ iken $f(x)\to 0$ ise o halde fonksiyonun $(0,1]$ aralığında minimum bir değeri yoktur. Örnek olarak $f(x)=x$'i verebiliriz. Ancak soruya eklenen diğer varsayımlar ile bunun da önüne geçebiliriz. Fonksiyonun $(0,1]$ kesitinde minimum değeri olduğunu göstermek için reel sayıların infimum/supremum özelliğini kullanacağız. $f((0,1])$ kümesine, yani $(0,1]$ aralığının $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsüne bakalım. Bu küme reel sayıların alt kümesidir, boş küme değildir ve $0$ tarafından alttan sınırlıdır. O halde bu kümenin bir infimumu, yani en büyük alt sınırı vardır. Eğer infimum, görüntü kümesinin içindeyse, kendisi minimum elemandır ve herhangi bir sorun yoktur. Elemanı değilse, $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan infimum $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$ olmalıdır. İnfimum $f(1)=c>0$'den küçük veya eşit, $0$'dan da büyük veya eşit olmalıdır. Ancak, $\epsilon>0$ için $$f(\epsilon+1)=\epsilon f(\epsilon)\implies \lim_{x\to 0^+} xf(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x+1)=f(1)=c$$ olacağından $x\to 0^+$ iken $f\to \infty$  olmalıdır. Bu da infimumun $0$ ile $1$ arasında olmasıyla çelişir. Dolayısıyla fonksiyonun $(0,1]$ aralığında kesin bir minimumu vardır.