Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 10

[alpercay]

Aşağıdaki kümelerin hangisi $$\{a\in \mathbb Z \mid a^7\equiv a \pmod {63}\}$$ kümesinin alt kümesi değildir?

$\textbf{a)}\ \{a\in \mathbb Z \mid a\equiv 0\pmod {21}\} \qquad\textbf{b)}\ \{a\in \mathbb Z \mid a\equiv 0\pmod {9}\} \qquad\textbf{c)}\ \{a\in \mathbb Z \mid a\equiv 2\pmod {3}\} \\ \textbf{d)}\ \{a\in \mathbb Z \mid a\equiv 1\pmod {3}\} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$63=7\cdot 9$ dur. Fermat teoreminden dolayı her $a$ tam sayısı için $a^7\equiv a \pmod {7}$ denkliği sağlanır. Euler teoreminden dolayı $(a,9)=1$ iken $a^6\equiv 1 \pmod {9}$ olup $a^7\equiv a \pmod {9}$ sağlanır. Yine $9\mid a$ iken $a^7\equiv a \pmod {9}$ sağlanır. Sadece $(a,9)=3$ iken $a^7 \not\equiv a \pmod {9}$ olur. O halde denkliğin çözüm kümesi $S = \{a\in \mathbb Z \mid a\not\equiv 3,6 \pmod{9} \}$ olur. $(b), (c), (d)$ seçeneklerinde verilen kümeler $S$ nin birer alt kümesidir.

Öte yandan $21 \in \{a\in \mathbb Z \mid a\equiv 0\pmod {21}\}$ olup $21\not\in S$ dir. $(a)$ seçeneğinde verilen küme $S$ nin bir alt kümesi değildir.