Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 03

[alpercay]

$(x+\sqrt{x^2+1})\cdot (y+\sqrt{y^2+1}) =1$ ise , $x+y$ nedir?

$\textbf{a)}\ -2\sqrt{2} \qquad\textbf{b)}\ -\sqrt{2} \qquad\textbf{c)}\ -1 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ 2$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Test mantığı ile $x=y=0$ için denklemin sağlandığı gözlemlenirse $x+y=0$ bulunur. Bu denklemi sağlayan başka sayılar da olabilir. Şimdi de sorunun tam çözümünü yapalım.

Verilen denklemden $y+\sqrt{y^2+1} = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^2+1} - x$ ve $\sqrt{y^2+1} - y  = \dfrac{1}{y+\sqrt{y^2+1}} = x + \sqrt{x^2+1}$ olur. Taraf tarafa çıkarma yapılırsa $(y+\sqrt{y^2+1}) - (\sqrt{y^2+1} - y) = (\sqrt{x^2+1} - x) - (\sqrt{x^2+1} + x) $ olup $2y = -2x$ ve $x+y = 0$ elde edilir.


Not: Denklemi sağlayan tüm $(x,y)$ gerçel sayı ikililerini bulmak istersek, $y=-x$ değerini ana denklemde yazabiliriz. $ (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1}) = 1$ denkleminden $ (x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1}) = 1$ bulunur. İki kare farkı özdeşliğinden dolayı bu eşitlik daima doğrudur. O halde verilen denklemin tüm gerçel çözüm ikilileri $(x,-x)$ biçimindedir.