Matematik Dünyası - Y15

[geo]

$[AB]$ çaplı bir yarıçember $C$, $D$ ile eş üç parçaya bölünmüştür. $CD$ yayına ait bir $P$ noktasını $A$, $B$ ye birleştiren doğrular $BD$ ve $AC$ yi $E$ ve $F$ de kesmektedir. $\angle CAP = x$ ise $\angle FEP = 3x$ olduğunu gösteriniz.

(Hüseyin Demir)

[matematikolimpiyati]

Çözüm [Matematik Dünyası, 1992]:



$BCF$ üçgeninin $AC$ ye göre simetriği $O'CF$ olur ve $\angle{FO'C}=x$ çıkar.

$ADE$ üçgeninin $BD$ ye göre simetriği $O'DE$ olup $\angle{EO'D}=\angle{EAD}=y$ olsun. $\implies x+y=30^{\circ}$

Şimdi $[O'C]$ nin $O'F$ ye göre simetriği $[O'C']$ ve $[O'D]$ nin de $O'E$ ye göre simetriği $[O'D']$ olsun.

$2(x+y)=60^{\circ}$ nedeniyle $[O'C']$ ile $[O'D']$ doğru parçaları çakışır.

Öte yandan $O'C' \perp C'F$ ve $O'D' \perp D'E$ olduğundan $C'$ ve $D'$ noktaları $EF$ üzerinde bir $H$ noktasında çakışır.

$O'CFH$ kirişler dörtgeni olduğu için ($H$ ve $C$ dik açı) $\angle{HFA}=2x$ olur.

Böylece $\angle{PEF}=\angle{PAF}+\angle{EFA}=x+2x=3x$ elde edilir.