2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$a>0$ olmak üzere$,\ y=ax^2+bx+c$ parabolünün tepe noktasının bulunduğu nokta $\left( \dfrac13 , \dfrac{-7}{6} \right)$ olup$,\ a+b+c$
 toplamı bir tam sayıdır. $a$'nın alabileceği en küçük değer$,\ (m,n)=1$ olmak üzere$,\ \dfrac{m}{n}$  biçiminde ise $n-m$ farkı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Tepe noktası $\left(\frac{1}{3},\frac{-7}{6}\right)$ olduğundan parabol $y=a\left(x-\frac{1}{3}\right)^2-\frac{7}{6}$ formatında olmalıdır. Açarsak, $$ax^2+bx+c=ax^2-\frac{2a}{3}x+\frac{a}{9}-\frac{7}{6}\implies (a,b,c)=\left(k, -\frac{2k}{3},\frac{k}{9}-\frac{7}{6}\right),\quad k\in\mathbb{R}$$ Dolayısıyla $a+b+c=\frac{8k-21}{18}\in\mathbb{Z}$ olacaktır. $a>0$ olduğundan $k>0$'dır. $$\frac{8k-21}{18}>\frac{-21}{18}$$ olduğundan $\frac{8k-21}{18}$ en az $-1$ olabilir. $k$'nın en küçük değeri için $a+b+c$ toplamı da minimum olması gerektiğinden $\frac{8k-21}{18}=-1$ ve $k=\frac{3}{8}$ bulunur. Yani $n-m=\boxed{5}$ olur.