2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 15

[matematikolimpiyati]

$|x| <1$   için   $1+x+x^2+x^3+ \cdots = \dfrac{1}{1-x}$ formülünden yararlanarak,
 
$2 \left( \dfrac12 \right) ^1+ 3 \left( \dfrac12 \right) ^3 + 4 \left( \dfrac12 \right) ^5 + 5 \left( \dfrac12 \right) ^7 + 6 \left( \dfrac12 \right) ^9 + 7 \left( \dfrac12 \right) ^{11} + \cdots$

sonsuz toplamını hesaplayınız.

$\textbf{a)}\ \dfrac{11}{9}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{13}{9}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{14}{9}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{16}{9}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{17}{9}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen eşitlikte $x$ yerine $x^2$ yazarsak, $1+x^2+x^4+x^6+\cdots=\frac{1}{1-x^2}$ elde edilir. Her tarafın türevini alırsak, $$x+2x^3+3x^5+\cdots=\frac{x}{(1-x^2)^2}$$ elde edilir. Ayrıca, $$x^2+x^4+x^6+\cdots=\frac{1}{1-x^2}-1\implies x+x^3+x^5+\cdots=\frac{x}{1-x^2}$$ bulunur. Elde ettiğimiz iki eşitliği toplarsak, $$2x+3x^3+4x^5+\cdots=\frac{x}{(1-x^2)^2}+\frac{x}{1-x^2}$$ buluruz. $x=\frac{1}{2}$ yazarsak, bizden istenilen toplam $\frac{14}{9}$ bulunur.