Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 21

[matematikolimpiyati]

$14n-35$ sayısının $77$ ile tam olarak bölünmesini ve $1 \leq n \leq 77$ koşulunu sağlayan kaç tane $n$ tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 77  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 1  \qquad\textbf{e)}\ 0$

[ygzgndgn]

Cevap: C

77|14n-35 olması 14n≡35(mod77) olduğu anlamına gelir. Mod parçalanırsa 14n≡35(mod7) ve 14n≡35(mod11) olduğu görülür. Birinci denklik 0≡0(mod7) olduğundan her n pozitif tam sayısı için sağlanır. İkinci denklik ise düzenlenirse 3n≡2≡24(mod11) denkliği elde edilir. 3 ve 11 aralarında asal olduğundan mod değişmeden iki taraf da 3'e bölünebilir. n≡8(mod 11) olduğu görülür. Soruda verilen koşul ve bu koşulu sağlayan n sayıları 8, 19, 30, 41, 52, 63, 74 olarak bulunur. Böylelikle bu durumu sağlayan 7 tane n pozitif tam sayısı bulunur.