Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 06

[matematikolimpiyati]

Şekilde $DF$ doğrusu $BC$ ye$,\ FE$ doğrusu da $AB$ ye paraleldir. $|BD|=2|DA|$ ise $DEF$ üçgeninin alanının$,\ ABC$ üçgeninin alanına oranı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ \dfrac25  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac29  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac14  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac15  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac19$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$DF \parallel BC$ ve $|BD|=2|DA|$ olduğundan $Alan(DEF) = Alan(DBF) = 2Alan(ADF)$ dir. Ayrıca $ADF \sim ABC$ olup benzerlik oranı $k=\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{1}{3}$ tür. Dolayısıyla $\dfrac{Alan(ADF)}{Alan(ABC)} = k^2 = \dfrac{1}{9}$ dur. Böylece $\dfrac{Alan(DEF)}{Alan(ABC)} = \dfrac{2}{9}$ sonucuna ulaşılır.