Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$A$ ve $B$ köylerini birleştiren bir yol vardır. İki köyde de birer traktör aynı anda karşı köye doğru hareket eder. Karşı köye ulaşan traktör $10$ dakika dinlendikten sonra aynı yoldan köyüne geri döner. Traktörler bu işlem sırasında ilk kez $A$ köyünden $7,2\ km,$ ikinci kez de $B$ köyünden $4\ km$ uzaklıkta karşılaşırlar. İki traktör de sabit hızla gittiğine göre köyler arasındaki yol kaç kilometredir?

$\textbf{a)}\ 22,4  \qquad\textbf{b)}\ 17,6  \qquad\textbf{c)}\ 15,2  \qquad\textbf{d)}\ 13,6  \qquad\textbf{e)}\ 11,2$

[ygzgndgn]

Cevap: B

A'dan harekete başlayan traktörün süratine a, B'den harekete başlayan traktörün süratine b diyelim. Toplam yola x diyelim. Bu durumda traktörler ilk kez 7,2 km noktasında karşılaştıysa a süratli traktör 7,2 km, b süratli traktör (x-7,2) km yol kat etmiş olmalıdır. Buradan 7,2a=(x-7,2)b denklemini elde ederiz. İki tarafı 5'le çarparsak 36a=(5x-36)b buluruz. Eğer gerekli düzenlemeler yapılırsa a/b=(5x-36)/36 buluruz. İkinci kez (x-4) km noktasında karşılaştılarsa (B köyünden uzaklığı hesaplıyoruz) buradan ax+10+4a=bx+10+(x-4)b denklemi elde edilir. Bu denklemde gerekli düzenlemeler yapılırsa a/b= (2x-4)/(x+4) bulunur. a/b oranı sabit olduğundan iki denklemden elde ettiğimiz oranları eşitleyip orantıyı çözebiliriz. (5x-36)/36=(2x-4)/(x+4) orantısında içler dışlar çarpımı ve dağıtım yapılırsa 5x²-88x=0 denklemine ulaşılır. x 0'a eşit olmayacağından iki taraf da x'e bölünebilir. 5x-88=0 ise x=88/5=17,6 bulunur.