Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1999 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$a_0=1999,\ a_1=2000$ ve her $n \geq 0$ tam sayısı için $a_{n+2}=\dfrac{1+a_{n+1}}{a_n}$ ise $a_{2001}$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{998}{3}  \qquad\textbf{b)}\ 1999  \qquad\textbf{c)}\ 2000  \qquad\textbf{d)}\ 2001  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$a_0=k$ ve $a_1=k+1$ için $a_n$ terimlerini hesaplayalım. $$(a_0,a_1,a_2,\dots)=\left(k,k+1,\frac{k+2}{k},\frac{2}{k},1,k,k+1,\dots\right)$$ olduğunu buluruz. $a_{n+2}$'yi hesaplamak için sadece $a_n$ ve $a_{n+1}$ gerektiğinden $k$ ve $k+1$ sayılarını elde etmemiz, dizinin periyodik olarak tekrar ettiğini gösterir. Periyot $5$ olduğundan $a_{2001}=a_1=k+1=2000$ olacaktır.