Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 11

[matematikolimpiyati]

İlk terimi $1$ olan $20$ terimli bir aritmetik dizinin toplamı, ilk terimi $20$ olan $10$ terimli bir aritmetik dizinin toplamına eşittir. Bu dizilerin ortak farkları sırasıyla $x$ ve $y$ pozitif tam sayıları ise $x+y$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 35  \qquad\textbf{b)}\ 38  \qquad\textbf{c)}\ 43  \qquad\textbf{d)}\ 75  \qquad\textbf{e)}\ 92$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

$1+(1+x)+(1+2x)+\ldots + (1+19x)=20+(20+y)+(20+2y)+\ldots + (20+9y)$

$20+\dfrac{19\cdot 20\cdot x}{2} = 200 +\dfrac{9\cdot 10 \cdot y}{2}$

$2+\dfrac{19\cdot 2\cdot x}{2} = 20 +\dfrac{9 \cdot y}{2}$

$38x = 36 + 9y$

Bu aşamadan sonra farklı şekilde sonuca gidebiliriz.


$1.$

$y = \dfrac{38x-36}{9}$, $x+y=\dfrac{47x-36}{9}=\dfrac{47x}{9}-4$.
$x+y$ pozitif tam sayı olduğu için $x$, $9$ un katı olmalı. $x+y$ nin en küçük değeri için $x$ de en küçük olmalı. Bu durumda $\min (x+y)=47-4=43$ olacaktır.

$2.$

$38x = 9(y+4)\Longrightarrow \dfrac{x}{y+4}=\dfrac{9}{38}$. $x=9k$, $y+4=38k$, $x+y=47k-4\geq 47-4=43$.

$3.$

$38x+9x = 36 + 9y+9x$
$47x = 9(x+y+4)$
$\min(x+y+4)=47$, $\min (x+y)=43$